平成27年入校 広島県立技術短期大学校 試験問題の問5の解答です。2次関数の知識が必要な問題です。他府県の職業訓練の選考試験問題では出題されることがないくらい高レベル。2次関数の最大値と最小値を求める問題も出題されており、職業能力開発短期大学校というだけあり、他府県の問題よりもレベルが高いです。数学が苦手な人にとっては少し辛い部分かもしれませんね。

5. 次の各設問に答えなさい。

[問題1] 2次関数 Y=2X²+8X+3 の頂点の座標を求めなさい。

[問題2] 頂点が(1, -5)で、(-2, 13)を通る2次関数の式を求めなさい。

[問題3] 2次関数 Y= (X-3)²/3 -2 において、Xの変数が1≦X≦6のときの最大値を求めなさい。

解答と解説

試験問題1の解答:(-2、-5)
Y=aX² という2次関数は、原点を通る最も基本的なグラフです。
2次関数

この基本的なグラフをX軸方向にb、Y軸方向にc移動させた2次関数の式は、Y=a(X+b)²+c となります。下のグラフは、X軸方向に2、Y軸方向に3移動させたグラフです。
2次方関数1

この2次関数の式は大切なので覚えておきましょう。

 Y=a(X+b)²+c

さて、問題に戻りますが、2次関数 Y=2X²+8X+3 の頂点の座標を求めるには、まずは、Y=a(X+b)²+cの形に変形させます。

 Y=2X²+8X+3
 Y=2(X²+4X)+3
 Y=2(X+2)²+3-8
 Y=2(X+2)²-5

変形が終わりました。これは、前述した通り、頂点が原点となるY=2X²の2次方程式をX方向に-2、Y軸方向に-5に移動させたグラフ。よって、頂点は(-2、-5)となります。

試験問題2の解答:Y=2X²-4X-3
問1が理解できていれば解ける問題です。ここでも重要になってくるのが、Y=a(X+b)²+c の式です。

頂点が(1, -5)を通るということなので、これは、上の式にあてはめると次のようになります。

 Y=a(X-1)²-5 ・・・(1)

更に点(-2, 13)を通るという事なので、式(1)にXとYの値を代入すると2次関数の傾きを表す係数aの値が求まります。

 Y=a(X-1)²-5 ・・・(1)
 13=a(-2-1)²-5
 13=9a-5
 9a=18
 a=2

よって、2次関数の式は次の通り。

 Y=2(X-1)²-5
 Y=2X²-4X-3

試験問題3の解答:Y= 1
2次関数の最大値と最小値を求める問題。Y= (X-3)²/3 -2 がどういったグラフか頭に受べることができれば簡単な問題。頭に浮かべられなければグラフを一度書いた方がよい。グラフ化できれば解けたも同然の問題です。

実際にY= (X-3)²/3 -2をグラフ化したら下図の様なグラフになります。

2次関数2

どうでしょう? グラフさえ頭に浮かべることができれば、Xが6の時がYが最大となることが瞬時にわかります。よって、Y= (X-3)²/3 -2 の式にX=6を代入し出てきたYの値が最大値となります。

 Y= (X-3)²/3 -2
 Y= (6-3)²/3 -2
 Y= 9/3 -2
 Y= 3 -2
 Y= 1