兵庫(神戸) 職業訓練 模擬入校試験問題 数学-問2

次の問いに答えなさい。

[問題1]　６ｘ－３＝３ｘ＋９ の方程式を解きなさい。

[問題2]　連立方程式を解きなさい。
３ｘ－４ｙ＝１４
５ｘ－３ｙ＝５

[問題3]　(２ｘ－４)(ｙ＋３) を展開しなさい。

[問題4]　ｘ²－１３ｘ＋３６ を因数分解しなさい。

[問題5]　５つの数 ３，２√３，－２√２， √１０，２√２ を小さい順に並べたとき真ん中にくる数を選びなさい。

[問題6]　６√３－６/√３ を簡単にしなさい。

[問題7]　(ｘ＋３)²＝５ の二次方程式を解きなさい。

[問題8]　関数ｙ＝ａｘ²で、ｘの値が２から５まで増加するとき、ｙの値は６３増加する。このときのａの値を求めなさい。

解答と解説

問２は、連立方程式、因数分解、ルート計算、二次方程式といった計算の知識が求められます。問１と比較して難易度が一気にあがりますが、中学で理系、文系関係なく皆が習っているはずの数学レベルの問題。計算方法が分かっていればさほど難しい問題ではない。

試験問題１の解答：ｘ＝４
６ｘ－３＝３ｘ＋９
６ｘ－３ｘ＝３＋９
３ｘ＝１２
ｘ＝４

試験問題２の解答：ｘ＝－２、ｙ＝－５
３ｘ－４ｙ＝１４ ・・・①
５ｘ－３ｙ＝５ ・・・②

ｘもしくは、ｙを一方の式に代入して解く方法、2式の左辺、右辺同士を引き算して解く方法があります。ここでは、2式の左辺、右辺同士を引き算する方法で解きます。

①式－②式でｙを消すために①式の両辺に3、②式の両辺に4を掛けます。
(３ｘ－４ｙ) × ３＝１４ × ３ ・・・①
(５ｘ－３ｙ) × ４＝５ × ４ ・・・②
　⇓
９ｘ－１２ｙ＝４２ ・・・①
２０ｘ－１２ｙ＝２０ ・・・②

①式－②式を行います
　　９ｘ－１２ｙ＝４２ ・・・①
－）２０ｘ－１２ｙ＝２０ ・・・②
－１１ｘ＝２２

　ｘ＝－２

ｘ＝－２と分かったので、これを①式もしくは②式に代入しｙの値も求めます。
　５ｘ－３ｙ＝５ ・・・②
　５(－２)－３ｙ＝５
　－１０－３ｙ＝５
　－３ｙ＝１５
　ｙ＝－５

試験問題３の解答：２ｘｙ＋６ｘ－４ｙ－１２
　(２ｘ－４)(ｙ＋３)
＝２ｘｙ＋６ｘ－４ｙ－１２

試験問題４の解答：(ｘ－４)(ｘ－９)
因数分解するには、たすき掛けの知識が必要。しかし、この程度の問題であればわざわざたすき掛けするまでもなく解けるようにしたい。

　ｘ²－１３ｘ＋３６

足して－１３、掛けて３６になる２つの数値を求めます。まずは、掛けて３６になる２つの数値を考えた方が容易に導くことができます。掛けて３６になる２つの数値は次の通り。

　１、３６
　２、１８
　３、１２
　４、９
　６、６
　－１、－３６
　－２、－１８
　－３、－１２
　－４、－９
　－６、－６

次にこの中の組み合わせから足して－１３になるものを探します。そうすると、－４、－９ の２つの数値だと分かります。よって、因数分解すると次のようになります。

　(ｘ－４)(ｘ－９)

試験問題５の解答：３
５つの数を全て√　だけにします。

３＝√９
２√３＝√４√３＝√１２
－２√２＝－√４√２＝－√８
２√２＝√４√２＝√８

よって、５つの数値を小さい順に並べると次のようになります。

－√８ ＜ √８ ＜ √９ ＜ √１０ ＜ √１２

よって、真ん中にくるのは、√９。これは、５つの数値の中で言う３に該当するので解答は、３

試験問題６の解答：４√３
　６√３－６/√３
＝(６√３√３)/√３－６/√３
＝(６×３)/√３－６/√３
＝１８/√３－６/√３
＝１２/√３
＝√１２×１２/√３
＝√４×３×４×３/√３
＝√４²×３²/√３
＝４√３²/√３
＝４√３

試験問題７の解答：ｘ＝－３±√５
(ｘ＋３)²＝５
ｘ＋３＝±√５
ｘ＝－３±√５

試験問題８の解答：ａ＝３
ｘの値が２から５まで増加するとき、ｙの値は６３増加するということなので、ｘが２のときと５のときのｙの値を求め、差が６３となるようなａの値を求めます。

ｙ＝ａｘ²

ｘ＝２のとき
ｙ＝ａｘ²＝４ａ

ｘ＝５のとき
ｙ＝ａｘ²＝２５ａ

これらの差が６３になるので次の式が成り立ちます。
２５ａ－４ａ＝６３

この式を解くと求めたいａの値が出てきます。
２５ａ－４ａ＝６３
２１ａ＝６３
ａ＝３

※解説の内容が不明、不十分というのがあればコメントをください。