岡山 職業訓練(委託訓練用参考問題) 数学 問2 解答

2. 次の方程式を解きなさい。

[問題1] 3X + 1 = 7

[問題2] 3X + 2 = X + 1

[問題3] (X+5)/3 = 3 - X

[問題4] X - (2X-1)/3 = -5

[問題5]
   3X + 2Y = 11
   X - 2Y = 9

[問題6]
   2X - 3Y = 4
   3X - 4Y = 5

[問題7] X² + X = 6

[問題8] X² + 4X - 6 = 0

[問題9] 2(X+1)/3 - (5X-3)/4 = (2X+5)/6 - 1

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解答と解説

試験問題1の解答:X = 2
 3X + 1 = 7
 3X = 7 - 1
 3X = 6
 X = 2

試験問題2の解答:X = -1/2
 3X + 2 = X + 1
 3X - X = 1 - 2
 2X = -1
 X = -1/2

試験問題3の解答:X = 1
 (X+5)/3 = 3 - X
 X+5 = (3 - X) × 3
 X+5 = 9 - 3X
 4X = 4
 X = 1

両辺に3を掛けて分数をなくしています。計算は少しでも楽にできるように変形させましょう。

試験問題4の解答:X = -16
 X - (2X-1)/3 = -5
 3X - (2X-1) = -15
 X + 1 = -15
 X = -16

両辺に3を掛けて分数をなくしています。計算は少しでも楽にできるように変形させましょう。

試験問題5の解答:X=5、Y=-2
 3X + 2Y = 11
 X - 2Y = 9

一方の式をもう一方に代入して計算することで求められますが、引き算もしくは、足し算でXもしくは、Yが消えるように計算することでも求めることができます。

今回の問題であれば、2式の左辺どうし、右辺どうしを足すことで、Yが消えますね。

  3X + 2Y = 11
)X - 2Y = 9
  4X = 20
  X = 5

X=5 をどちらか一方の式に代入し、Yを求める。

 X - 2Y = 9
 5 - 2Y = 9
 -2Y = 4
 Y = -2

試験問題6の解答:X=-1、Y=-2
 2X - 3Y = 4 ・・・(1)
 3X - 4Y = 5 ・・・(2)

一方の式をもう一方に代入して計算することで求められますが、引き算で求める方が簡単な場合が多い。

式(1)の両辺に3、式(2)の両辺に2をかけます。

 2X - 3Y = 4 ・・・(1)
 (2X - 3Y) × 3 = 4 × 3
 6X - 9Y = 12

 3X - 4Y = 5 ・・・(2)
 (3X - 4Y) × 2 = 5 × 2
 6X - 8Y = 10

上記2式を引き算します。

  6X - 9Y = 12
)6X - 8Y = 10
  -Y = 2
  Y = -2

Y=-2 をどちらか一方の式に代入し、Yを求める。

 2X - 3Y = 4 ・・・(1)
 2X - 3(-2) = 4
 2X + 6 = 4
 2X = -2
 X = -1

試験問題7の解答:X=2、-3
この問題は、因数分解ができる必要があります。因数分解の方法は、「たすき掛け」などで検索すればたくさん出てくるので、できるようにしておきましょう。

 X² + X = 6
 X² + 1-6 = 0

足して+ 1、掛けて-6となる2つの数値を探します。簡単な方法としては、まずは、掛けて-6となる2つの数値をピックアップし、その後に、その中から足して+ 1となる組み合わせを選ぶと簡単に見つけることができます。

それでは、掛けて-6となる2つの数値ですが、下記の4組みが存在します。

 -1  6
 -2  3
 -3  2
  1 -6

この中から足して+ 1となる組み合わせは、

 -2  3

のみです。よって、因数分解すると次のようになります。

 (X-2)(X+3)=0

よって、求める解答は、X=2、-3

※別解
因数分解はどうしても苦手と言う方向けの解き方

設問の下記の式を次のように変形させます。
 X² + X = 6
 X(X+1) = 6

これは、『X』 と『X+1』という2つの数値を掛けて6になるという事です。よって、掛けて6になるようなXの値を探します。

ここで、『X』 と『X+1』の2つの数値は、1しか差がないので、1しか差がなく掛けて6になる2つの数値と言えば、すぐに『2』と『3』がでてきます。よって、X=2だと分かりますね。

しかし、2次方程式なので解は必ず2つあります。よって、掛けて6になるもう数値がもう1組あるはずです。『-2』と『-3』ですね。よって、もう一つの解は、X=-3になります。X=-3 を代入すると、2つの数値は、『-3』と『-2』になるますよね。

試験問題8の解答:X = ±√10 - 2
さて、この問題は、問題7のように簡単にはいきません。

 X² + 4- 6 = 0

設問7のときのように、足して+ 4、掛けて - 6となる数値が見つかりません。これは、これは求めたい解が整数ではないとうことを意味するのですが、では、どうしてとくのか?

考え方は一緒です。もし、上記、設問を次のように変形させればどうでしょうか?

 X² + 4X + 4 - 10 = 0

このとき、- 10を無視して、因数分解します。これなら設問7と同じようにできますよね?

 (X+2)² - 10 = 0

となります。更にこれは、次のように計算できます。

 (X+2)² - 10 = 0
 (X+2)² = 10
 X+2 = ±√10
 X = ±√10 - 2

どうでしょう? 少し難易度が高くなりましたが、これでXは求まりました。

試験問題9の解答:X = 19/11
 2(X+1)/3 - (5X-3)/4 = (2X+5)/6 - 1

計算し易いように両辺に12を掛けて分数を無くしてしまいます。

 {2(X+1)/3 - (5X-3)/4} × 12 = {(2X+5)/6 - 1} × 12
 8(X+1) - 3(5X-3) = 2(2X+5) - 12
 8X + 8 - 15X + 9 = 4X + 10 - 12
 8X - 15X - 4X = 10 - 12 - 8 - 9
 -11X = -19
 X = 19/11


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