問1～3に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
図のように、放物線ｙ＝ｋｘ²上に、2点A、Bがあり、点Aのx座標は－4である。点Aと点Bのx座標の比は2：1 で、直線ABとy軸との交点をCとする。以下の問いにア～オから選んで答えなさい。
[問題1] 点Aからx軸に垂線を引き、交点をDとし、点Bからx軸に垂線を引き、交点をEとする。このとき四角形ABEDの面積をk を用いて表しなさい。
[解答群]
ア 4ｋ イ 16ｋ ウ 20ｋ エ 40ｋ オ 60ｋ
[問題2] Ｋ＝1/2のとき、△OACの面積を求めなさい。
[解答群]
ア 2 イ 4 ウ 6 エ 8 オ 10
解答と解説
試験問題１の解答：オ
点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｄの座標をそれぞれ求めていきます。
点Ａの座標
点Ａのｘ座標は－4なので、ｙ座標は次の通り。
ｙ＝ｋｘ²
＝ｋ(－4)²
＝16ｋ
点Ａ(－4,16k)
点Ｄの座標
点Ａからｘ軸に垂線を下した点が点Ｄなので、ｘ座標は－4となります。よって、点Ｄの座標は次の通り。
点Ｄ(－4,0)
点Ｅの座標
点Ａと点Ｂのｘ座標の比は2：1ということなので、点Ｄと点Ｅのｘ座標の比も2：1になります。よって、点Ｄのｘ座標は－4なので、点Ｅは2だと分かります。比率はマイナス、プラスは無視します。
点Ｅ(2,0)
点Ｂの座標
点Ｅのｘ座標が2なので、点Ｂのｘ座標も2だと分かります。よって、点Ｂの座標は次の通り。
ｙ＝ｋｘ²
＝ｋ(2)²
＝4ｋ
点Ｂ(2,4k)
面積を求める
座標より、ＡＤ間の長さが16k、ＤＥ間の距離が6、ＢＥ間の距離が4kだと分かりました。四角形ABEDは下底がＡＤ、上底がＢＥ、高さがＤＥとなる台形です。よって、台形の面積を求める公式を使って面積を求めることができます。
台形の面積＝(上底＋下底)x高さ÷2
＝(4k＋16k)x6÷2
＝20kx3
＝60k
試験問題２の解答：エ
この問題はまともに△OACを求めようとするのではなく、四角形ADOCの面積から三角形ADOの面積を引く流れで行うと楽に面積が求められます。
四角形ADOCの面積
四角形ADOCの面積を求めるには点Cの座標を知る必要があります。k＝1/2ということなので、今わかっている各点の座標は次の通り。
点Ａ(－4,8)
点Ｂ(2,2)
点Ｄ(－4,0)
点Ｅ(2,0)
点Ｏ(0,0)
次に直線ABの式を求めていきます。直線の傾きをａ、ｙ軸との交点をｂとすると直線は次の式で表すことができます。
ｙ＝ａｘ＋ｂ
更にこの直線は、点Ａと点Ｂを通るので各値を代入します。
点Ａ(－4,8)を代入
ｙ＝ａｘ＋ｂ
8＝－4ａ＋ｂ ・・・(１)
点Ｂ(2,2)を代入
ｙ＝ａｘ＋ｂ
2＝2ａ＋ｂ ・・・(２)
式(１)(２)からｙ軸との交点であるｂの値を求めます。
8＝－4ａ＋ｂ ・・・(１)
2＝2ａ＋ｂ ・・・(２)
式(２)の両辺に2を掛けます。
8＝－4ａ＋ｂ ・・・(１)
4＝4ａ＋2ｂ ・・・(２)
この式(１)(２)の左辺どうし、右辺どうしを足し算します。
(8+4)＝(－4ａ＋ｂ)＋(4ａ＋2ｂ)
12＝3ｂ
ｂ＝4
よって、Ｂ点の座標は(0,4)
問題1と同様に台形ADOCの面積を求めます。
台形の面積＝(上底＋下底)x高さ÷2
＝(4+8)x4÷2
＝12×2
＝24
次に三角形ADOの面積を求めます。
三角形ADOの底辺DOの長さは4、高さADの長さは8なので面積は次の通り。
三角形ＡＤＯの面積＝4×8÷2
＝16
三角形ＯＡＣの面積は次の通り。
三角形OACの面積＝台形ADOCの面積－三角形ADOの面積
三角形OACの面積＝24－16＝8
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