問1～2、問4に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問1
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問2
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問4
図のように1辺の長さが8cmの立方体がある。ABの中点をM、BCの中点をNとするとき、以下の問いにア～オから選んで答えなさい。
[問題1] EM、FB、GNの延長の交点をPとするとき、PBの長さを求めなさい。
[解答群]
ア 4cm イ 6cm ウ 8cm エ 10cm オ 16cm
[問題2] 三角すい台MBN-EFGの体積を求めなさい。
[解答群]
ア 448/3 cm³ イ 412/3 cm³ ウ 331/3 cm³ エ 150 cm³ オ 418/3 cm³
[問題3] 台形MNGEの面積を求めなさい。
[解答群]
ア 144 cm² イ 24√19 cm² ウ 56 cm² エ 72 cm² オ 36√2 cm²
解答と解説
試験問題１の解答：ウ
下図の様に同じ正立方体を上にのせて考えると分かりやすい。
四角形ABEFは正四角形で、ABの中点である点Mを通りEMを延長していくと、点Pは上図の通りFP=2FBの点で交わる。よって、PB＝8となる。
試験問題２の解答：ア
三角すい台MBN-EFGの体積は、三角錐P-EFGの体積から三角錐P-MBNの体積を引けば求まる。
三角台錐MBN-EFG体積＝(三角錐P-EFG体積)-(三角錐P-MBN体積)
三角錐の体積を求める公式は次の通り。
三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷３
三角錐P-EFGの体積
底面となる三角形EFGの面積
8ｘ8÷2＝32
高さとなるPFの長さは16。よって、三角錐P-EFGの体積は次の通り。
三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷3
＝32ｘ16÷3
＝512/3
三角錐P-MBNの体積
底面となる三角形MBNの面積
4ｘ4÷2＝8
高さとなるPBの長さは8。よって、三角錐P-MBNの体積は次の通り。
三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷3
＝8ｘ8÷3
＝64/3
三角台錐MBN-EFGの体積
512/3-64/3＝448/3 cm³
試験問題３の解答：エ
この問題の解き方は、「三平方の定理を駆使して解く方法」と「三角錐の図形を展開し解く方法」の二通りがあります。ここでは三平方の定理を利用して解きます。
大まかな解く流れは次の通り。
- 三角形PEGの面積を求める。
- 三角形PMNの面積を求める。
- 台形MNGEの面積を求める。
三角形PEGの面積を求める
EGの長さは三平方の定理より次の通り。
EG²=EF²+FG²
EG²=8²+8²
EG²=128
EG＝√128
EG＝8√2
PEの長さは三平方の定理より次の通り。
PE²＝EF²+PF²
PE²＝8²+16²
PE²＝320
PE＝8√5
点PからEGに対して垂線を下ろし、その交点をＯとした場合、POの長さは三平方の定理より次の通り。
PE²＝PO²+EO²
(8√5)²＝PO²+(4√2)²
320＝PO²+32
PO²＝288
PO＝√288
PO＝12√2
三角形PEG面積＝EGｘPO÷2
三角形PEG面積＝8√2ｘ12√2÷2
三角形PEG面積＝96
三角形PMNの面積を求める
点PからMNに垂線を下ろし、その交点をQとする。三角形PMNは三角形PEGの1/2の大きさなので各辺の長さも全て1/2となるはずだが、念のため下記に計算してみます。
MNの長さは三平方の定理より次の通り。
MN²＝MB²+BN²
MN²＝4²+4²
MN²＝32
MN＝4√2
PQの長さは三平方の定理より次の通り。
PM²＝MQ²+PQ²
(4√5)²＝(2√2)²+PQ²
80＝8+PQ²
PQ²＝72
PQ＝6√2
三角形PMNの面積＝MNｘPQ÷2
三角形PMNの面積＝4√2ｘ6√2÷2
三角形PMNの面積＝24
台形MNGEの面積を求める
台形MNGEの面積＝96-24＝72cm²
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