次の問に答えなさい。
[問題1] ある商品は原価の４割増しの定価が設定されています。この商品を60円安く販売したところ、利益は300円になりました。このとき、商品の定価は何円ですか。ただし、消費税は考えないものとします。
[問題2] 1時間に0.3リットルずつ消費すると，40時間で無くなる燃料があります。この燃料を24時間で使い切るには、1時間に何リットルずつ消費するとよいですか。
[問題3] 表は，ドーナツとワッフルを1個ずつ作るのに必要な小麦粉とバターの分量を表したものです。この分量に従いドーナツとワッフルをそれぞ
れ数個作ったところ，小麦粉1,110ｇとバター250ｇを使用しました。このとき、できたドーナツは何個ですか。
[問題4] Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆの６人がいます。この６人が横１列に並ぶとき、ＡとＦが隣どうしになる並び方は全部で何通りありますか。
[問題5] 図のような正四角すいＯＡＢＣＤがあります。底面ＡＢＣＤは、1辺の長さが8cmの正方形で、他の辺の長さはすべて12cmです。この正四角すいの表面積は何cm²ですか。
解答と解説
試験問題１の解答：
原価をＸ円と仮定します。(求めたい定価をＸ円と仮定して計算してもよいが、原価をＸ円として計算する方が計算は容易)
定価は、原価を4割増しした価格なので次の式が成り立ちます。
定価＝原価 × 1.4＝1.4Ｘ
この定価1.4Ｘの商品を60円安く販売するということなので、その売値は次の通り。
売値＝1.4Ｘ－60
その際の利益は300円ということなので次の式が成り立ちます。
利益＝売値－原価
300＝(1.4Ｘ－60)－Ｘ
この式を解けば原価Ｘが求まります。
300＝(1.4Ｘ－60)－Ｘ
300＝0.4Ｘ－60
0.4Ｘ＝360
Ｘ＝900
これで原価の価格が900円と分かりました。よって、求めたい定価は次の通り。
定価＝1.4Ｘ
＝1.4×900
＝1,260円
解答：1,260円
試験問題２の解答：
1時間で0.3リットルずつ消費した場合、40時間で無くなるということなので、その燃料の量は次の通り。
燃料の量＝0.3 × 40＝12リットル
燃料の量が12リットルと分かりました。これを24時間で使い切るためには、
12リットル ÷ 24時間 ＝ 0.5
1時間あたり0.5リットル消費すればいいことが分かります。
解答：0.5リットル
試験問題３の解答：
作ったドーナツの個数をＸ個、ワッフルの個数をＹ個と仮定します。
小麦粉に焦点を合わせて考える
ドーナツ1個作るのに使用する小麦粉の量は50g、よって、ドーナツＸ個を作った際に使用する小麦粉の量は、
ドーナツＸ個を作った際に使用する小麦粉の量＝50Ｘ
ワッフル1個作るのに使用する小麦粉の量は80g、よって、ワッフルＹ個を作った際に使用する小麦粉の量は、
ワッフルＹ個を作った際に使用する小麦粉の量＝80Ｙ
また、ドーナツＸ個とワッフルＹ個を作った際に使用した小麦粉の量は設問より1,110gだと分かっているので次の式が成り立ちます。
50Ｘ＋80Ｙ＝1110 ・・・(１)
バターに焦点を合わせて考える
ドーナツ1個作るのに使用するバターの量は10g、よって、ドーナツＸ個を作った際に使用するバターの量は、
ドーナツＸ個を作った際に使用するバターの量＝10Ｘ
ワッフル1個作るのに使用するバターの量は20g、よって、ワッフルＹ個を作った際に使用するバターの量は、
ワッフルＹ個を作った際に使用するバターの量＝20Ｙ
また、ドーナツＸ個とワッフルＹ個を作った際に使用したバターの量は設問より250gだと分かっているので次の式が成り立ちます。
10Ｘ＋20Ｙ＝250 ・・・(２)
作ったドーナツの個数を求める
式(１)(２)を解くと求めたいドーナツの個数が出てきます。
50Ｘ＋80Ｙ＝1110 ・・・(１)
10Ｘ＋20Ｙ＝250 ・・・(２)
式(２)の左辺、右辺を4倍した後、(１)－（２）を行います。
50Ｘ＋80Ｙ＝1110 ・・・(１)
40Ｘ＋80Ｙ＝1000 ・・・(２)
——————————-
10Ｘ＝110
Ｘ＝11
よって、作ったドーナツの個数は、11個
解答：11個
試験問題４の解答：
AとFが隣り合うので（A、F）を1セットで考えます。仮に、（A、F）の1セットを新たなGとして置き換えます。
そうした場合、B、C、D、E、G の5つが取り得る並び方の総数は、
5！＝5×4×3×2×1＝120通り
また、Gは、先述した通りA、Fを1セットにしたもの。このAとFの取り得る並び順は、AFとFAの2通り。よって、取り得る総組合せ数は、
120通り × 2通り ＝ 240通り
解答：240通り
試験問題５の解答：
表面積は、底面ＡＢＣＤの面積と、4つの二等辺三角形の面積を求めればよい。4つの二等辺三角形はいずれも同じ大きさなので1つの面積を求めて4倍すればよい。
底面ＡＢＣＤの面積を求める
底面ＡＢＣＤは、1辺が8cmの正方形なのでその面積は、
底面ＡＢＣＤの面積＝8×8＝64cm²
二等辺三角形の面積を求める
三平方の定理を知っている必要があります。下図のような直角三角形がある場合、次の式が成り立ちます。
a²+b²=c²
二等辺三角形OABに焦点を合わせて考えてみます。頂点Ｏから辺ABに垂直に下ろした点をEとします。そうすると辺AEの長さは4cmとわかります。三平方の定理より、辺OEの長さは、
OE²＋AE²＝OA²
OE²＋4²＝12²
OE²＋16＝144
OE²＝128
OE＝√128
OE＝√64×2
OE＝√8²×2
OE＝8√2
これで二等辺三角形OABの高さが8√2と分かりました。よって、二等辺三角形OABの面積は次の通り。
二等辺三角形OABの面積＝AB×OE÷2＝8×8√2÷2＝32√2
よって、2等辺三角形4つの表面積は次の通り。
2等辺三角形4つの表面積＝32√2 × 4 ＝128√2
よって、求めたい表面積は、2等辺三角形4つの表面積と底面ＡＢＣＤの面積を足した値なので次の通り。
求めたい表面積＝64＋128√2
解答：64＋128√2
