東京 職業訓練 試験問題[筆記] 数学-問2(平成27年07月生)

次の問に答えなさい。

[問題1] ある商品は原価の4割増しの定価が設定されています。この商品を60円安く販売したところ、利益は300円になりました。このとき、商品の定価は何円ですか。ただし、消費税は考えないものとします。

[問題2] 1時間に0.3リットルずつ消費すると,40時間で無くなる燃料があります。この燃料を24時間で使い切るには、1時間に何リットルずつ消費するとよいですか。

[問題3] 表は,ドーナツとワッフルを1個ずつ作るのに必要な小麦粉とバターの分量を表したものです。この分量に従いドーナツとワッフルをそれぞ
れ数個作ったところ,小麦粉1,110gとバター250gを使用しました。このとき、できたドーナツは何個ですか。

tokyo-sugaku-h27-07-q2-1

[問題4] A,B,C,D,E,Fの6人がいます。この6人が横1列に並ぶとき、AとFが隣どうしになる並び方は全部で何通りありますか。

[問題5] 図のような正四角すいOABCDがあります。底面ABCDは、1辺の長さが8cmの正方形で、他の辺の長さはすべて12cmです。この正四角すいの表面積は何cm²ですか。
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解答と解説

試験問題1の解答:
原価をX円と仮定します。(求めたい定価をX円と仮定して計算してもよいが、原価をX円として計算する方が計算は容易)

定価は、原価を4割増しした価格なので次の式が成り立ちます。

 定価=原価 × 1.4=1.4X

この定価1.4Xの商品を60円安く販売するということなので、その売値は次の通り。

 売値=1.4X-60

その際の利益は300円ということなので次の式が成り立ちます。

 利益=売値-原価
 300=(1.4X-60)-X

この式を解けば原価Xが求まります。

 300=(1.4X-60)-X
 300=0.4X-60
 0.4X=360
 X=900

これで原価の価格が900円と分かりました。よって、求めたい定価は次の通り。

 定価=1.4X
   =1.4×900
   =1,260円

解答:1,260円

試験問題2の解答:
1時間で0.3リットルずつ消費した場合、40時間で無くなるということなので、その燃料の量は次の通り。

 燃料の量=0.3 × 40=12リットル

燃料の量が12リットルと分かりました。これを24時間で使い切るためには、

 12リットル ÷ 24時間 = 0.5

1時間あたり0.5リットル消費すればいいことが分かります。

解答:0.5リットル

試験問題3の解答:
作ったドーナツの個数をX個、ワッフルの個数をY個と仮定します。

小麦粉に焦点を合わせて考える
ドーナツ1個作るのに使用する小麦粉の量は50g、よって、ドーナツX個を作った際に使用する小麦粉の量は、

 ドーナツX個を作った際に使用する小麦粉の量=50X

ワッフル1個作るのに使用する小麦粉の量は80g、よって、ワッフルY個を作った際に使用する小麦粉の量は、

 ワッフルY個を作った際に使用する小麦粉の量=80Y

また、ドーナツX個とワッフルY個を作った際に使用した小麦粉の量は設問より1,110gだと分かっているので次の式が成り立ちます。

 50X+80Y=1110 ・・・(1)

バターに焦点を合わせて考える
ドーナツ1個作るのに使用するバターの量は10g、よって、ドーナツX個を作った際に使用するバターの量は、

 ドーナツX個を作った際に使用するバターの量=10X

ワッフル1個作るのに使用するバターの量は20g、よって、ワッフルY個を作った際に使用するバターの量は、

 ワッフルY個を作った際に使用するバターの量=20Y

また、ドーナツX個とワッフルY個を作った際に使用したバターの量は設問より250gだと分かっているので次の式が成り立ちます。

 10X+20Y=250 ・・・(2)

作ったドーナツの個数を求める
式(1)(2)を解くと求めたいドーナツの個数が出てきます。

 50X+80Y=1110 ・・・(1)
 10X+20Y=250 ・・・(2)

式(2)の左辺、右辺を4倍した後、(1)-(2)を行います。

 50X+80Y=1110 ・・・(1)
 40X+80Y=1000 ・・・(2)
——————————-
 10X=110

X=11

よって、作ったドーナツの個数は、11個

解答:11個

試験問題4の解答:
AとFが隣り合うので(A、F)を1セットで考えます。仮に、(A、F)の1セットを新たなGとして置き換えます。

そうした場合、B、C、D、E、G の5つが取り得る並び方の総数は、

 5!=5×4×3×2×1=120通り

また、Gは、先述した通りA、Fを1セットにしたもの。このAとFの取り得る並び順は、AFとFAの2通り。よって、取り得る総組合せ数は、

 120通り × 2通り = 240通り

解答:240通り

試験問題5の解答:
表面積は、底面ABCDの面積と、4つの二等辺三角形の面積を求めればよい。4つの二等辺三角形はいずれも同じ大きさなので1つの面積を求めて4倍すればよい。

底面ABCDの面積を求める
底面ABCDは、1辺が8cmの正方形なのでその面積は、

 底面ABCDの面積=8×8=64cm²

二等辺三角形の面積を求める
三平方の定理を知っている必要があります。下図のような直角三角形がある場合、次の式が成り立ちます。

三平方の定理

a²+b²=c²

二等辺三角形OABに焦点を合わせて考えてみます。頂点Oから辺ABに垂直に下ろした点をEとします。そうすると辺AEの長さは4cmとわかります。三平方の定理より、辺OEの長さは、

 OE²+AE²=OA²
 OE²+4²=12²
 OE²+16=144
 OE²=128
 OE=√128
 OE=√64×2
 OE=√8²×2
 OE=8√2

これで二等辺三角形OABの高さが8√2と分かりました。よって、二等辺三角形OABの面積は次の通り。

 二等辺三角形OABの面積=AB×OE÷2=8×8√2÷2=32√2

よって、2等辺三角形4つの表面積は次の通り。

 2等辺三角形4つの表面積=32√2 × 4 =128√2

よって、求めたい表面積は、2等辺三角形4つの表面積と底面ABCDの面積を足した値なので次の通り。

 求めたい表面積=64+128√2

解答:64+128√2


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