平成27年入校 広島県立技術短期大学校 試験問題の問4の解答です。問4では、因数分解に加え不等式の知識も問われていますが、職業訓練の選考問題としては中レベル程度。過去問を何度か実施しておけば問題無いレベルでしょう。
問１～問３、問５～問８、に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
４. 次の各設問に答えなさい。
[問題1] 不等式、(Ｘ/4)＋(1/6) ＞ (Ｘ/2)－(1/3)を解きなさい。
[問題2] 2次不等式、Ｘ²－2Ｘ－24＞0を解きなさい。
[問題3] 鉛筆が100本ある。生徒に1人７本ずつ配ると10本以上余った。このとき、生徒の人数は最大で何人であるかを求めなさい。
解答と解説
試験問題１の解答：Ｘ ＜ 2
分数の不等式なので、まずは各分母の数の最小公倍数となる数を両辺に掛けて、分数ではない形に変形させてやりましょう。
(Ｘ/4)＋(1/6) ＞ (Ｘ/2)－(1/3)
分母の数は、4、6、2、3の4つの数値。この最小公倍数は12なので両辺に12を掛けて分数ではない形に変形させます。
{(Ｘ/4)＋(1/6)} × 12 ＞ {(Ｘ/2)－(1/3)} × 12
3Ｘ＋2 ＞ 6Ｘ－4
次に不等式を解いていきます。
3Ｘ＋2 ＞ 6Ｘ－4
3Ｘ－6Ｘ ＞ －4－2
－3Ｘ ＞ －6
ここで両辺を「－3」で割ると求めたい解Ｘがでてくるのですが、マイナス符号の数値で割る場合は、不等号の向きが変わる点に注意が必要です。
－3Ｘ ÷ (－3) ＜ －6 ÷ (－3)
Ｘ ＜ 2
試験問題２の解答：Ｘ＜ー4、Ｘ＞6
この問題を解くには因数分解が必要になります。
Ｘ²－2Ｘ－24＞0
まずは、左辺を因数分解。たすき掛けをするほどでもありませんが、たすき掛けで因数分解を行ってみます。
1 －6 ⇒ －6
Ｘ
1 4 ⇒ 4
－2
よって、因数分解の結果は次の通り。
(Ｘ－6)(Ｘ＋4)＞0
よって、Ｘ＜ー4、Ｘ＞6 となる。
本来は、二次方程式のグラフを頭に思い浮かべ、求める不等号の向きがどっちに向くかを判断できるようにしておくべきですが、分からない方は下記の点を抑えておきましょう。
ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ＝０の解がＸ＝α，β(α＜β)のとき、2次不等式の取り得る範囲。
ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ＜０(ａ＞０) → α＜Ｘ＜β
ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ≦０(ａ＞０) → α≦Ｘ≦β
ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ＞０(ａ＞０) → Ｘ＜α，β＜Ｘ
ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ≧０(ａ＞０) → Ｘ≦α，β≦Ｘ
試験問題３の解答：12人
求めたい生徒の人数をＸと仮定します。
生徒1人につき7本ずつ鉛筆を配布するので、その時の本数は、7Ｘとなります。鉛筆が100本あり、7Ｘ配っても10本以上余るという事なので次の不等式が成り立ちます。
100 － 7Ｘ ≧ 10
この不等式を解けば求めたい生徒の人数が出てきます。
100 － 7Ｘ ≧ 10
－7Ｘ ≧ 10 － 100
－7Ｘ ≧ －90
Ｘ ≦ 90/7
Ｘが求まりました。しかし、このまま90/7(12.857…) 人と解答しないように。0.857人といった中途半端な人は存在しません。よって、Ｘが取り得る範囲の最大は、12人です。
