大阪 職業訓練 試験問題 数学-問2(平成28年2月19日実施) 普通課程

次の文章題の答えとして正しいものをア～オの中から1つ選び、記号で答えなさい。

[問題1]　男子3人と女子4人の7人の生徒の中から2人の選手を抽選で選ぶとき、2人とも男子となる確率を求めなさい。

[問題2]　8人を4組に分けて「ぼたん」「菊」「すみれ」「ばら」の4部屋に分けることになった。このときの部屋の分かれ方は何通りありますか。

[問題3]　A君とB君が校庭でどんぐりを集めた。A君はB君より20個多く集めたが、B君に自分のどんぐりの1/6をあげたので、2人のどんぐりの数が同じになった。全部で何個のどんぐりを集めたか求めなさい。

[問題4]　男子15人、女子20人のクラスがあり、クラスの漢字テストの平均点がa点だった。男子の平均点がb点とすると、女子だけの平均点をa 、b を用いて表しなさい。

[問題5]　√8の整数部分をa 、小数部分をbとするとき、ａ²+2aｂ+ｂ²の値を求めなさい。

解答と解説

試験問題１の解答：エ
男女7人の中から2人を選ぶ組み合わせ数
₇Ｃ₂＝(7×6)/(2×1)＝21

男子3人の中から2人を選ぶ組み合わせ数
₃Ｃ₂＝(3×2)/(2×1)＝3

よって、男女7人の中から男子2人が選ばれる確率は次の通り。
3/21＝1/7

試験問題２の解答：ウ
この問題の説明文は少し不親切な問題になっています。問題文に記載はありませんが、この問題の分けられた4組の組み合わせは固定されているのが前提条件となっています。普通に考えると4組に分ける組み合わせ自体がかなりの組み合わせがあります。更にその組み合わせが各部屋に割り当てられる組み合わせを考えると、膨大な数になります。しかし、選択肢の中の最大の数は56通りで少なすぎます。

この問題では「4組に分ける組み合わせ」はすでに行われていて、各部屋に割り当てる組み合わせのみを考えます。

1組目は部屋を4部屋の中から選べる
2組目は部屋を3部屋の中から選べる
3組目は部屋を2部屋の中から選べる
4組目は部屋を1部屋の中から選べる

よって、分けられた4組が4部屋に割り当てたれる通りは次の通り。

4x3x2x1＝24通り

試験問題３の解答：イ
Ｂ君の集めたどんぐりの数をＭと仮定します。
Ａ君の集めたどんぐりはＢ君より20個多いので、Ｍ＋20となります。

Ａ君がＢ君に自分のどんぐりの1/6をあげたら数が同じになったということなので、次の式が成り立ちます。

(Ｍ＋20)－{(Ｍ＋20)/6}＝Ｍ＋{(Ｍ＋20)/6}

この式を解くとＢ君のどんぐりの数Ｍが求まります。

(Ｍ＋20)－{(Ｍ＋20)/6}＝Ｍ＋{(Ｍ＋20)/6}
20－(Ｍ＋20)/6＝(Ｍ＋20)/6
20＝(Ｍ＋20)/3
60＝(Ｍ＋20)
Ｍ＝40

よって、Ａ君のどんぐりの数は次の通り。

Ｍ＋20＝40＋20＝60

よって、どんぐりの総数は次の通り。

40＋60＝100個

試験問題４の解答：エ
男女の合計得点
(15＋20)xａ＝35ａ

男子の合計得点
15xｂ＝15ｂ

女子の合計得点
35ａ－15ｂ

よって、女子の平均点は次の通り。
(35ａ－15ｂ)/20＝(7ａ－3ｂ)/4

よって、解答はエ

試験問題５の解答：ア
√8は、「2.xxxxx」で整数部分ａは2だとすぐに分かると思います。

ａ＝2

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※補足
すぐに頭に浮かばない人は整数部分の数字をＸとし、Ｘは√8の整数部分だけなので、「Ｘ＜√8」が成り立ちます。更にＸに1を足すと√8よりも大きくなることから次の不等式が成り立ちます。

Ｘ＜√8＜Ｘ+1

全てに同じ数を掛けたり、乗じたりした場合、不等号の向きは変わりません。よって、各数字を乗じた場合、次のようになります。

x²＜８＜(x+1)²

これが成り立つＸの値を考えます。Ｘ＝1だと成り立たず、Ｘ＝2だと成り立ち、Ｘ＝3だと成り立ちません。よって、Ｘ＝2だと分かります。
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では√8の小数部分はどうなるのか？
小数部分ｂは√8から制す部分の数値を引いた数なので次の通りになります。

ｂ＝√8－2

よって、求めたい値は次の通り。

　ａ²＋2ａｂ＋ｂ²
＝2²＋2x2x(√8－2)＋(√8－2)²
＝4＋4√8－8＋8－4√8＋4
＝8

※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容も不明であれば遠慮なくコメントください。