大阪 職業訓練 試験問題 数学-問3(平成27年9月3日実施) 短期課程

図のように2つの放物線ｙ＝ｘ² 、ｙ＝ｘ²/4 とそれに交わる直線ｙ＝4 がある。放物線と直線の交点をA、B、C、Dとするとき、ア～オの中から1つ選び、記号で答えなさい。

[問題1]　△OAC の面積を求めなさい。

[問題2]　△OACをy軸を回転の軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

解答と解説

試験問題１の解答：イ
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※補足
ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ²/4の放物線が2つありますが、図形のどちらのグラフがどちらの式にあたるかは即座に分かるようにしておきましょう。

原点を通る放物線の式は傾きをａとした場合、次の式で表せます。

ｙ＝ａｘ²

グラフの見分け方のポイントは傾きａで、ａの数値が大きい方がグラフの傾きも大きくなります。今回の問題であれば、傾きaは、「1」と「1/4」になり、「1」の方がより傾きが大きいグラフということになります。

問題の図であれば、点BCを通るグラフが「ｙ＝ｘ²」で点ADを通るグラフが「ｙ＝ｘ²/4」となります。

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点Aと点Cの座標を求めます。

点Aの座標
点Aは、ｙ＝4のグラフとｙ＝ｘ²/4のグラフの交点なので、放物線の式にy＝4を代入すればｘの値が求まります。

ｙ＝ｘ²/4
4＝ｘ²/4
ｘ²＝16
ｘ＝√16
ｘ＝±4

よって、放物線ｙ＝ｘ²/4とｙ＝4のグラフが交わる点はｘ＝4とｘ＝－4の2点があることになります。ｘ＝4は点Dの方にあたるので、点Aのｘ座標は－4となります。

点Aの座標(－4，4)

点Cの座標
点Cは、ｙ＝4のグラフとｙ＝ｘ²のグラフの交点なので、放物線の式にy＝4を代入すればｘの値が求まります。

ｙ＝ｘ²
ｘ²＝4
ｘ＝√4
ｘ＝±2

よって、放物線ｙ＝ｘ²とｙ＝4のグラフが交わる点はｘ＝2とｘ＝－2の2点があることになります。ｘ＝－2は点Bの方にあたるので、点Cのｘ座標は2となります。

点Cの座標(2，4)

△OACの面積
底辺をACとした場合、その長さは点Aと点C間のｘ座標の距離となります。点Aのｘ座標は－4ですが、長さなのでマイナスは無視し、ｙ軸からの距離は4と考えます。点Cのｘ座標は2なのでAC間の距離は次の通り

底辺ACの長さ＝4＋2＝6

△OACの高さは直線ｙ＝4のｙ座標にあたるので、4となります。よって、△OACの面積は次の通り。

△OAC面積＝底辺ｘ高さ÷2
△OAC面積＝6ｘ4÷2
△OAC面積＝12

試験問題２の解答：エ
ｙ＝4のグラフとｙ軸との交点を点Eとします。

△OACをｙ軸を回転の軸として回転させると三角錐ができあがります。求められているのはこの三角錐の体積になります。よって、この問題を解くにあたり、三角錐の体積を求める公式を頭に入れておく必要があります。

三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷３

底面積を求める。
底面は線分ACがｙ軸を軸として回転してできる円になります。しかし、AE＞CEなので、実質的にはAEがｙ軸を軸として回転してできる円が底面と考えることができます。

この時の円の半径はAEの長さに相当し、Aのｘ座標に当たります。よって、底面は半径4の円となります。

底面積＝4ｘ4ｘπ＝16π

高さはOEの長さに等しいので点Eのｙ座標に当たります。よって、三角錐の体積は次の通り。

三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷3
　　　　　　＝16πｘ4÷3
　　　　　　＝64π/3

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