問1～3に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問1
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問2
大阪 職業訓練 短期過程試験問題 数学-問3
底面が1辺の長さ6の正方形ABCDで、側面が1辺の長さ6の正三角形4つでできている正四角すいO-ABCD がある。底面の対角線の交点をHとするとき、以下の問いにア～オから選んで答えなさい。
[問題1] 線分AHの長さを求めなさい。
[解答群]
ア 2√2 イ 2√3 ウ 3√2 エ 3√3 オ 4√2
[問題2] 四角すいO-ABCDの体積を求めなさい。
[解答群]
ア 2√2 イ 6√2 ウ 12√2 エ 36√2 オ 108√2
[問題3] 点Hから△OABに垂線を引き、垂線と△OABの交点をEとする。線分EHの長さを求めなさい。
[解答群]
ア √2 イ √3 ウ √5 エ √6 オ 2√2
解答と解説
試験問題１の解答：ウ
分かっている辺の長さを図に書き込むと下図のようになります。
この問題の解き方はいくつかありますが、最も簡単な方法が直角二等辺三角形の各辺の比を利用した解き方です。二辺の長さが等しくその間の角が直角の場合、各辺の長さは下記の比率が成り立ちます。
今回の問題は、「AB＝BC」、「∠ABC＝90°」なのでこの比率が利用できます。AB＝6なので各辺の比率は次の通り。
AB：BC：AC＝6：6：6√2
AH＝AC/2なので、AHの長さは次の通り。
AH＝6√2/2
＝3√2
試験問題２の解答：エ
四角推の体積を求める公式
四角推の体積＝底面積ｘ高さ÷３
底面積を求める
四角形ABCDは一辺が6cmの正四角形なので面積は次の通り。
底面積＝6ｘ6＝36
高さを求める
高さを求めるには三平方の定理を利用します。
辺AOの長さは6、AHの長さは問題１により3√2と分かっているので、OHの長さは次の通り。
OA²＝AH²+OH²
6²＝(3√2)²+OH²
OH²＝36-18
OH²＝18
OH＝√18
OH＝3√2
四角錐の体積を求める
四角推の体積＝底面積ｘ高さ÷３
＝36ｘ3√2÷3
＝36√2
試験問題３の解答：エ
頂点がH、底面が△ABOとした三角錐H-ABOで考えます。
三角錐H-ABOの体積は、四角推O-ABCDを4等分にしたものになります。問題2より四角推O-ABCDの体積は分かっているので、三角錐H-ABOの体積は次の通り。
三角錐H-ABOの体積＝36√2÷4
三角錐H-ABOの体積＝9√2
三角錐の体積の公式を利用し、三角錐の高さEHを求めます。
三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷３
あと、分かっていないのは底面となる△ABOの面積。△ABOの面積は次のように求めます。
点Oから辺ABに垂線を下ろしその交点をFとした場合、下図のようになります。
三平方の定理より、OFの長さは次の通り。
OA²＝AF²+OF²
6²＝3²+OF²
36＝9+OF²
OF²＝27
OF＝3√3
三角形ABOの面積は次の通り。
三角形ABOの面積＝6ｘ3√3÷2
三角形ABOの面積＝9√3
三角錐の体積の公式を利用し、三角錐の高さEHを求めます。
三角錐の体積＝底面積ｘ高さ÷３
9√2＝9√3ｘEH÷3
EH＝9√2÷3√3
＝3√2/√3
＝3√6/3
＝√6
※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容も不明であれば遠慮なくコメントください。
