埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問2(平成28年入校生)

平成28年度に埼玉県で実施された職業訓練の選考試験で出題された試験問題と、その解答と解説です。 本ページでは数学問題の設問2(正式なテスト用紙上では設問5)のみ記載しています。数学問題の設問1、3に関しては、以下のページを参照してください。

埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問1(平成28年入校生)
埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問3(平成28年入校生)

試験問題 設問２

次の（１）～（４）の問いに答えなさい。

[問題1]
幼稚園の先生があめを園児に配ろうとしている。１人に５個ずつ配ると４８個あまり、７個ずつ配ると１４個足りない。園児の人数を求めなさい。

[問題2]
商品Ａと商品Ｂを定価で１個ずつ買うと合わせて６，８００円だった。セールのときに、商品Ａを定価の１０％引き、商品Ｂを定価の２０％引きで１個ずつ買うと合わせて５，６００円となった。商品Ｂの定価を求めなさい。

[問題3]
Ａ高校とＢ高校は毎月１回、合同でボランティア活動を行っている。今月の参加人数は１２０人である。先月にくらべて、Ａ高校は１．２倍、Ｂ高校は２倍となり、全体では４４人の増加になった。今月のＡ高校の参加人数を求めなさい。

[問題4]
Ａさんは歩くときは一定の速さで１時間に３㎞、走るときは一定の速さで１時間に９㎞進む。Ａさんは、家から３㎞離れた駅まで行くのに、出発して１０分間走った後、歩くことにした。歩く時間は何分間になるか、求めなさい。

解答と解説

試験問題１の解答：
求めたい園児の人数をＸ、あめの個数をＹに置き換えて考えてみます。

「１人に５個ずつ配ると４８個あまる」という点からあめの個数Ｙは次の式で表すことができます。

Ｙ＝Ｘx5+48
Ｙ＝5Ｘ+48 ・・・(１)

更に「７個ずつ配ると１４個足りない」という点からあめの個数Ｙは次の式でも表すことができます。

Ｙ＝Ｘx7-14
Ｙ＝7Ｘ-14 ・・・(２)

式(１)、式(２)のあめの個数Ｙはどちらも同じはずなので、式(１)、式(２)から次の式が成り立ちます。

5Ｘ+48＝7Ｘ-14

この式を解けば求めたい園児の人数Ｘが求まります。

5Ｘ+48＝7Ｘ-14
5Ｘ-7Ｘ＝-14-48
-2Ｘ＝-62
Ｘ＝31

よって、園児の人数は31人

解答：31人

試験問題２の解答：
商品Ａの定価をＸ円、商品Ｂの定価をＹ円として考えます。

「商品Ａと商品Ｂを定価で１個ずつ買うと合わせて６，８００円だった」という点から以下の式が成り立ちます。

Ｘ+Ｙ＝6800 ・・・(１)

次に「商品Ａを定価の１０％引き、商品Ｂを定価の２０％引きで１個ずつ買うと合わせて５，６００円となった」という点から以下の式が成り立ちます。

(Ｘx0.9)+(Ｙx0.8)＝5600
0.9Ｘ+0.8Ｙ＝5600
9Ｘ+8Ｙ＝56000 ・・・(２)

式(１)と式(２)の連立方程式を解くと求めたい商品Ｂの定価Ｙが出てきます。
まずは、式(１)を次のように変形させます。

Ｘ+Ｙ＝6800 ・・・(１)
Ｘ＝6800-Ｙ

これを式(２)へ代入します。

9Ｘ+8Ｙ＝56000 ・・・(２)
9(6800-Ｙ)+8Ｙ＝56000
61200-9Ｙ+8Ｙ＝56000
-9Ｙ+8Ｙ＝56000-61200
-Ｙ＝-5200
Ｙ＝5200

よって、求めたい商品Ｂの定価は5200円

解答：5200円

試験問題３の解答：
今月のＡ高校の参加人数をＸ、Ｂ高校の参加人数をＹとして考えます。

「今月の参加人数は１２０人である。」という点より次の式が成り立ちます。

Ｘ+Ｙ＝120 ・・・(１)

次に「先月にくらべて、Ａ高校は１．２倍、Ｂ高校は２倍となり、全体では４４人の増加になった。」という点に着目します。

今月のＡ高校の参加人数Ｘは、先月より1.2倍多いという事なので先月のＡ高校の参加人数は次の式で表すことができます。

Ｘ＝先月のＡ高校の参加人数x1.2
先月のＡ高校の参加人数＝Ｘ/1.2 ・・・(２)

同様にＢ高校は2倍という点より、先月のＢ高校の参加人数は次の式で表すことができます。

Ｙ＝先月のＢ高校の参加人数x2
先月のＢ高校の参加人数＝Ｙ/2 ・・・(３)

更に先月の参加人数は今月の参加人数120人より44人少ないので、先月の参加人数は次の通り

先月の参加人数＝120-44＝76人 ・・・(４)

式(２)～(４)より、次の式が成り立ちます。

(Ｘ/1.2)+(Ｙ/2)＝76

この式をもう少し計算しやすいように両辺に6をかけて分数をなくします。

(Ｘ/1.2)x6+(Ｙ/2)x6＝76×6
5Ｘ+3Ｙ＝456 ・・・(５)

式(１)と式(５)の連立方程式を解くと求めたいＡ高校の今月の参加人数Ｘが出てきます。

Ｘ+Ｙ＝120 ・・・(１)
5Ｘ+3Ｙ＝456 ・・・(５)

まずは、式(１)を変形。

Ｘ+Ｙ＝120 ・・・(１)
Ｙ＝120-Ｘ

これを式(５)へ代入します。

5Ｘ+3Ｙ＝456 ・・・(５)
5Ｘ+3(120-Ｘ)＝456
5Ｘ+360-3Ｘ＝456
5Ｘ-3Ｘ＝456-360
2Ｘ＝96
Ｘ＝48人

よって、今月のＡ高校の参加人数は48人

解答：48人

試験問題４の解答：
この問題を解くあたり、次の公式を知っておく必要があります。

速度＝距離/時間

「歩くときは一定の速さで１時間に３㎞」という点より歩く速度は次の通り。
歩く速度＝3㎞/1時間＝3㎞/h

更に「走るときは一定の速さで１時間に９㎞進む」という点より、歩く速度は次の通り。

走る速度＝9㎞/1時間＝9㎞/h

Ａさんは、家から３㎞離れた駅まで行くのに、まず最初に出発して１０分間走ったということなので、その１０分間で走った距離は次のようになります。

速度＝距離÷時間
9＝距離÷(1/6)
距離＝9x(1/6)＝3/2=1.5㎞

最初の10分間を走ったことにより、家から駅までの距離3㎞の中間である1.5㎞地点まできたことになります。よって、残りの距離は1.5㎞。この残り1.5㎞を歩いた場合、何分かかるかというのが設問になる。

歩く時速は3㎞/hなので、公式に数値を当てはめると次のようになります。

速度＝距離/時間
3＝1.5/時間
時間＝1.5/3
時間＝0.5時間

設問で問われているのは、「何分」なので0.5時間を分に変換する必要があります。0.5時間というのは1時間の丁度半分なので、30分とすぐにわかりますよね。

よって、求める解答は30分

解答：30分