平成29年度に埼玉県で実施された職業訓練の選考試験で出題された試験問題と、その解答と解説です。 本ページでは数学問題の設問3(正式なテスト用紙上では設問8)のみ記載しています。数学問題の設問1～2に関しては、以下のページを参照してください。
埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問1(平成29年入校生)
埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問2(平成29年入校生)
試験問題 設問３
下図のように、三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上にＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢを満たすように点Ｄ、Ｅをとります。辺ＢＣの中点をＦとし、点ＥとＦ、ＤとＣをそれぞれ結び、線分ＡＦとＤＣの交点をＧとします。ＥＦ＝９ｃｍのとき、ＣＧの長さは何ｃｍか求めなさい。
解答と解説
設問の内容を図に落とし込むと下図のようになります。
この問題を解くのに知っておく必要があるのが、三角形の相似条件です。
※三角形の相似条件
- ３組の辺の比が、すべて等しいとき
- ２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいとき
- ２組の角が、それぞれ等しいとき
三角形ＢＦＥと三角形ＢＣＤについて考える
三角形ＢＦＥと三角形ＢＣＤは、下記の条件を満たしているので相似な三角形と言える。
- ∠Ｂは共通の頂点で角度が等しい
- 三角形ＢＦＥの辺ＢＥと三角形ＢＣＤの辺ＢＤの長さ比は１：２。
- 三角形ＢＦＥの辺ＢＦと三角形ＢＣＤの辺ＢＣの長さ比は１：２。
よって、三角形の相似条件「２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいとき」を満たしているので三角形ＢＦＥと三角形ＢＣＤは相似な三角形。
相似な三角形の各辺の比率は同じになるため、三角形ＢＦＥの辺ＦＥと三角形ＢＣＤの辺ＣＤの長さ比も１：２となる。よって、辺ＦＥの長さが９ｃｍなので辺ＣＤの長さは１８ｃｍになる。
三角形ＡＤＧと三角形ＡＥＦについて考える
三角形ＡＤＧと三角形ＡＥＦは、下記の条件を満たしているので相似な三角形と言える。
- ∠Ａは共通の頂点で角度が等しい
- 三角形ＢＦＥと三角形ＢＣＤは前述の通り相似な三角形と分かっているので、∠ＦＥＢ＝∠ＣＤＢになる。これは、∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＧを意味する。
よって、三角形の相似条件「２組の角が、それぞれ等しいとき」を満たしているので三角形ＡＤＧと三角形ＡＥＦは相似な三角形。
相似な三角形の各辺の比率は同じになる。三角形ＡＤＧの辺ＡＤと三角形ＡＥＦの辺ＡＥの長さ比は１：２です。よって、辺ＤＧと辺ＥＦの長さ比も１：２となるため、辺ＤＧの長さは４.５ｃｍとなる。
ここまでの結果を図に落とし込むと下図のようになります。
ここまでわかると、求めたい辺ＣＧの長さはもうわかりますよね。
辺ＣＧの長さ＝18-4.5＝13.5cm
解答：13.5cm
