この問題は平成30年4月入校の東京都立職業能力開発センター入校選考試験問題の問２の（３）と（４）の解答と解説です。
問１および、問２の（１）（２）（５）に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
実際の試験の問題用紙は以下のページで確認することができます。
■目次
試験問題 問２(３)
当たりの棒が２本、はずれの棒が５本入っているくじがあります。このくじを同時に２本ひくとき、少なくとも１本は当たりの棒をひく確率を分数で求めなさい。
解答と解説
問２(３)の解答：11/21
この問題を解くには、組み合わせ数を求める公式を知っている必要があります。
解き方としては以下のどちらかの方法で求めます。
求め方
- くじを引いて1本もしくは2本が当たりの場合を考える
- くじを引いて2本とも外れの場合を考える
両方のパターンで解説しておきます。
1本もしくは2本が当たりの場合を考える
まずは、当たり外れ関係なく全7本の中から2本を引く組み合わせは次の通り。
₇Ｃ₂＝(7×6×5×4×3×2×1)/{(2×1)×(5×4×3×2×1)}
＝(7×6)/(2×1)
＝42/2
＝21通り。
当たりくじ2本から2本が選ぶ組合数は次の通り。
₂Ｃ₂＝(2×1)/{(2×1)×1}
＝2/2
＝1通り。
※0！は1となります。
よって、全7本から当たりが2本出る確率は1/21となる。
次に当たりくじ2本から1本が選ぶ組合数を考えます。
当たり2本の中から1本が選ばれ、かつ外れ5本の中から1本が選ばれるので当たりくじ1本、はずれくじが1本が選ばれる組合数は次の通り。
₂Ｃ₁×₅Ｃ₁＝{(2×1)/(1×1})} × {(5×4×3×2×1)/{1×(4×3×2×1)}}
＝2×5
＝10通り。
よって、当たりを引くのは2本とも当たりとなる1通りと、1本が当たりとなる10通りの計11通りがあります。全組み合わせ数は21通りなので当たりが出る確率は次の通り。
少なくとも1本が当たる確率＝11/21
くじを引いて2本とも外れの場合を考える
まずは、当たり外れ関係なく全7本の中から2本を引く組み合わせは次の通り。
₇Ｃ₂＝(7×6×5×4×3×2×1)/{(2×1)×(5×4×3×2×1)}
＝(7×6)/(2×1)
＝42/2
＝21通り。
全部はずれを引く確率は、はずれ5本から2本が選ばれる場合です。その組み合わせ数は次の通り。
₅Ｃ₂＝(5×4×3×2×1)/{(2×1)×(3×2×1)}
＝(5×4)/(2×1)
＝20/2
＝10通り。
よって、この10通り以外の組み合わせは必ず当たりが含まれていることになります。全組み合わせ数が21通りあるので、その組み合わせ数は21－10＝11通り。
したがって、当たりを引く確率は11/21となります。
試験問題 問２(４)
Ｘ店でＨＢの鉛筆２本とＢの鉛筆１本を買うと代金は190円です。同じ物をＹ店ではＸ店よりもＨＢの鉛筆の価格が４割安く、Ｂの鉛筆の価格が３割安いので、Ｙ店でＨＢの鉛筆２本とＢの鉛筆１本を買うと代金は120円になります。Ｘ店のＨＢの鉛筆１本の価格は何円ですか。ただし，消費税は考えないものとします。
解答と解説
問２(４)の解答：65円
Ｘ店のＨＢ1本の鉛筆の価格をＮ円、Ｂの鉛筆をＭ円と仮定します。
Ｘ店でＨＢの鉛筆２本とＢの鉛筆１本を買うと代金は190円ということより、以下の式が成り立ちます。
2Ｎ＋Ｍ＝190・・・①
Ｙ店ではＸ店よりもＨＢの鉛筆の価格が４割安く、Ｂの鉛筆の価格が３割安いので、Ｙ店でＨＢの鉛筆２本とＢの鉛筆１本を買うと代金は120円ということなので以下の式が成り立ちます。
(Ｎ×0.6)×2＋(Ｍ×0.7)×1＝120
1.2Ｎ＋0.7Ｍ＝120
12Ｎ＋7Ｍ＝1200・・・②
4割安いということは、そのものの6割の価格ということ。同様に3割安いということは、そのものの7割の価格ということになります。
①×7－②の計算を行い、Ｎの値を求めます。
①×7－②
(2Ｎ＋Ｍ)×7－(12Ｎ＋7Ｍ)＝190×7－1200
14Ｎ＋7Ｍ－12Ｎ－7Ｍ＝1330－1200
2Ｎ＝130
Ｎ＝65
よって、Ｘ店のＨＢの鉛筆１本の価格は65円
※記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。
