長崎 職業訓練 試験問題 数学-問1(平成25年入校生)

次の各設問の解答を答えなさい。

[問題1]
nagasaki-25-q1-1

 ①13  ②-7  ③7  ④-13

[問題2]
(3x²y)² × (-2xy³) を計算しなさい。

 ①-12x⁵y⁵  ②-18x⁵y⁵  ③18x⁵y⁵  ④-18x⁴y⁵

[問題3]
nagasaki-25-q1-2

 ①15  ②14  ③18  ④30

[問題4]
x²-y²-4x+4を因数分解しなさい。

 ①(x+y+2)(x-y+2)  ②(x-y+2)(x-y-2)  ③(x+y-2)(x-y-2)  ④(x+y-2)(x+y+2)

[問題5]
2次方程式x(x-9)=36を解きなさい。

 ①-4、9  ②-3、12  ③-12、3  ④-9、4

[問題6]
2つの不等式6x+1≧3x-5、x+4>3(x+1)を同時に満たすxの値の範囲を求めなさい。

 nagasaki-25-q1-3

[問題7]
-3<x<2、-4<y<3のとき、xy=kのとりうる値の範囲を求めなさい。

 ①-9<k<12  ②-12<k<6  ③-8<k<12  ④-9<k<6

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解答と解説

試験問題1の解答:
  {3×3-4x(-8)}/2 - {2×3-3x(-8)}/4
 =(9+32)/2-(6+24)/4
 =41/2 - 15/2
 =26/2
 =13

答え:①

試験問題2の解答:
  (3x²y)² × (-2xy³)
 =(9x⁴y²) × (-2xy³)
 =-18x⁵y⁵

答え:②

試験問題3の解答:
nagasaki-25-q1-4

一見計算が面倒なように見えるが下記のように並び順を変えて前2つ、後ろ2つの( )どうしを最初に計算すると簡単。

 nagasaki-25-q1-5

答え:③

試験問題4の解答:
これは、真面目に因数分解してもいいが、因数分解された解答の方を逆に展開して、設問と同じ式になるものを探した方が早い。

設問の式は、x²-y²-4x+4 である。ここで着目するのは、「-y²」の部分。「-y²」になるためには、( )内のyがどちらか一方はプラスで、他方がマイナスとならなければならない。

よって、この時点で②と④は選択肢から消える。残りは、①と③だけなのでどちらか一方だけ計算して展開をする。設問の式と一致すればそれが正解。一致しなければもう一方の方が正解となる。

では、実際に①(x+y+2)(x-y+2)を展開してみる。

  x²-xy+2x+xy-y²+2y+2x-2y+4
 =x²+4x+3xy-y²+4

設問の式と一致しない。よって、求める解答は③だと分かる。実際の試験のときはこれで解答すればよいが、念のため③(x+y-2)(x-y-2)も展開してみる。

  (x+y-2)(x-y-2)
  x²-xy-2x+xy-y²-2y-2x+2y+4
 =x²-y²-4x+4

設問の式と一致する。よって、③が正解は正しい。

答え:③

試験問題5の解答:
 x(x-9)=36
 x²-9x-36=0
 (x-12)(x+3)=0

よって、求める解答は12と-3となる。

因数分解に自信のない人は、解答群の値を実際に設問の式に代入して、式が成り立つものを見つける方法でも早い。

答え:②

試験問題6の解答:
 6x+1≧3x-5 ・・・(1)
 x+4>3(x+1) ・・・(2)

まずは、(1)を計算してみる。

 6x+1≧3x-5
 3x≧-6
 x≧-2

次に、(2)を計算してみる。

 x+4>3(x+1)
 x+4>3x+3
 -2x>-1
 x<1/2

よって、xは、-2以上かつ、1/2未満とわかる。これを不等式になおすと、

 -2≦x<1/2

答え:④

試験問題7の解答:
それぞれの最大値、最小値を掛け合わせ、その結果から最小になるものと、最大になるものをピックアップすればいい。

(xの最小値)x(yの最小値) = (-3)x(-4) = 12
(xの最大値)x(yの最大値) = 2x3 = 6
(xの最小値)x(yの最大値) = (-3)x3 = -9
(xの最大値)x(yの最小値) = 2x(-4) = -8

よって、xyの掛けあわせた結果が最大となるのは12、最小になるのは-9

 -9<k<12

答え:①


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