長崎 職業訓練 試験問題 数学-問2(平成25年入校生)

次の各設問の解答を答えなさい。

[問題1]
2次関数y=3x²-6ax+12・・・①について、次の各設問に答えよ。

(1)2次関数①の頂点の座標が(3, -15)となるときのaの値を求めなさい。
 ①-3  ②-1  ③2  ④3

(2)a=2のとき、変域が0≦x≦3におけるyの最大値を求めなさい。
 ①12  ②6  ③3  ④9

(3)2次関数①がx軸と異なる2点で交わるときのaの値の範囲を求めなさい。
 ①-4<a<4  ②-2<a<2  ③a<-2, 2<a  ④a<-4, 4<a

[問題2]
放物線y=x²と直線y=x+6との2つの交点をP、Qとする。原点をOとするとき、△OPQの面積を求めなさい。

 ①39  ②21  ③15  ④30

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解答と解説

[問題1]の(1)解答:
2次関数y=3x²-6ax+12にX=3、y=-15を代入すればaの値は出てくる。

 -15=27-18a+12
 18a=54
a=3

解答:④

[問題1]の(2)解答:
a=2のとき、2次関数y=3x²-6ax+12は、y=3x²-12x+12 となる。よって、このグラフは下に凸のグラフで頂点が最小値になることがわかる。まずは、この頂点の座標を算出する。

 y=3x²-12x+12
 y=3(x²-4x)+12
 y=3(x-2)²

よって、頂点の座標は、X=2、y=0だとわかる。この頂点(2, 0)より、X軸が遠くに離れた方がy軸の値は大きくなる。下のグラフを見て頂ければ分かると思う。

nagasaki-25-q2-1

頂点(2, 0)から離れていくにつれy軸の値は大きくなる。よって、頂点のx座標が2なので、x軸が0≦x≦3の範囲であれば、x=3のときよりもx=0の方が頂点から離れている。このことより、x=0のとき、yが最大値となる。

 y=3x²-12x+12
 y=12

解答:①

[問題1]の(3)解答:
2次関数①がx軸と異なる2点で交わるということは、グラフの頂点のy座標が0未満でなければならない。[問題1]の(2)のときのように頂点の座標が(2, 0)であればx軸と1点しか交わらないことになる。

 y=3x²-6ax+12
 y=3(x²-2ax)+12
 y=3(x-a)²-3a²+12

よって、y座標部分である「-3a²+12」が0よりも小さくなればいい。

 -3a²+12<0
 a²-4>0
 (a+2)(a-2)>0

 a<-2、a>2

解答:③

[問題2]の解答:
求めたいのは、下図の△OPQの面積。

nagasaki-25-q2-2

ここで、各線分の長さを求めて面積を求める方法もあるが、3つの点が(0,0)、(a,b)、(c,d)のとき、三角形の面積は次の公式で導くことができる。

nagasaki-25-q2-3

この公式を使用するためにOPQの3つの座標を求める。

まず、座標Oは、原点なので(0, 0)だとすぐに分かる。

次に、直線y=x+6を放物線y=x²に代入する。

 x+6=x²
 x²-x-6=0
 (x-3)(x+2)=0

 x=3、-2

よって、P点のX座標は-2、Q点のX座標は3だとわかる。そして、この2点のX座標を直線の式に代入すると、各々のy座標も求められる。

 y=-2+6=4
 P点の座標(-2, 4)

y=3+6=9
 Q点の座標(3, 9)

これで3点OPQの座標がでた。これを面積を求める公式に代入すると

 S=(12+18)/2=15

解答:③


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