次の各設問の解答を答えなさい。
[問題1]
2次関数y＝3x²－6ax＋12・・・①について、次の各設問に答えよ。
(1)2次関数①の頂点の座標が(3, －15)となるときのaの値を求めなさい。
①－3 ②－1 ③2 ④3
(2)a＝2のとき、変域が0≦x≦3におけるyの最大値を求めなさい。
①12 ②6 ③3 ④9
(3)2次関数①がx軸と異なる2点で交わるときのaの値の範囲を求めなさい。
①－4＜a＜4 ②－2＜a＜2 ③a＜－2, 2＜a ④a＜－4, 4＜a
[問題2]
放物線y＝x²と直線y＝x＋6との2つの交点をP、Qとする。原点をOとするとき、△OPQの面積を求めなさい。
①39 ②21 ③15 ④30
解答と解説
[問題１]の(１)解答：
2次関数y＝3x²－6ax＋12にX＝3、y＝－15を代入すればaの値は出てくる。
－15＝27－18a＋12
18a＝54
a=3
解答：④
[問題１]の(２)解答：
a＝2のとき、2次関数y＝3x²－6ax＋12は、y＝3x²－12x＋12 となる。よって、このグラフは下に凸のグラフで頂点が最小値になることがわかる。まずは、この頂点の座標を算出する。
y＝3x²－12x＋12
y＝3(x²－4x)＋12
y＝3(x－2)²
よって、頂点の座標は、X＝2、y＝0だとわかる。この頂点(2, 0)より、X軸が遠くに離れた方がy軸の値は大きくなる。下のグラフを見て頂ければ分かると思う。
頂点(2, 0)から離れていくにつれy軸の値は大きくなる。よって、頂点のx座標が2なので、x軸が0≦x≦3の範囲であれば、x＝3のときよりもx＝0の方が頂点から離れている。このことより、x＝0のとき、yが最大値となる。
y＝3x²－12x＋12
y＝12
解答：①
[問題１]の(３)解答：
2次関数①がx軸と異なる2点で交わるということは、グラフの頂点のy座標が0未満でなければならない。[問題１]の(２)のときのように頂点の座標が(2, 0)であればx軸と1点しか交わらないことになる。
y＝3x²－6ax＋12
y＝3(x²－2ax)＋12
y＝3(x－a)²－3a²＋12
よって、y座標部分である「－3a²＋12」が0よりも小さくなればいい。
－3a²＋12＜0
a²－4＞0
(a＋2)(a－2)＞0
a＜－2、a＞2
解答：③
[問題２]の解答：
求めたいのは、下図の△OPQの面積。
ここで、各線分の長さを求めて面積を求める方法もあるが、3つの点が(0，0)、(a，b)、(c，d)のとき、三角形の面積は次の公式で導くことができる。
この公式を使用するためにOPQの3つの座標を求める。
まず、座標Oは、原点なので(0, 0)だとすぐに分かる。
次に、直線y＝x＋6を放物線y＝x²に代入する。
x＋6＝x²
x²－x－6＝0
(x－3)(x＋2)＝0
x＝3、－2
よって、P点のX座標は－2、Q点のX座標は3だとわかる。そして、この2点のX座標を直線の式に代入すると、各々のy座標も求められる。
y＝－2＋6＝4
P点の座標(－2, 4)
y＝3＋6＝9
Q点の座標(3, 9)
これで3点OPQの座標がでた。これを面積を求める公式に代入すると
S＝(12+18)/2＝15
解答：③
