平成26年度に沖縄県で行われた職業訓練の選考試験で出題された試験問題と、その解答と解説です。 本ページでは数学問題の設問【２】のみ記載しています。数学問題の設問【１】、【３】～【５】に関しては、次のページを参照してください。
沖縄 職業訓練 平成26年度 試験問題と解答 問題【１】
沖縄 職業訓練 平成26年度 試験問題と解答 問題【３】
沖縄 職業訓練 平成26年度 試験問題と解答 問題【４】
沖縄 職業訓練 平成26年度 試験問題と解答 問題【５】
具志川職業能力開発校、浦添職業能力開発校 共通
【２】次の問に答えなさい。
[問題1] Ｘ²＋４Ｘ－５ を因数分解せよ。
[問題2] ａ＝４＋√３、ｂ＝４－√３ のとき、ａｂ－４ｂの値を求めよ。
[問題3] ４＜√３ａ＜４.５ を満たす自然数ａの値を求めよ。
[問題4] １５０ｎ がある自然数の平方となるような、最小の自然数ｎを求めよ。
[問題5] 下図の∠Ｘの大きさを求めよ。
[問題6] 下図の∠Ｘの大きさを求めよ。
解答と解説
試験問題１の解答：(Ｘ－１)(Ｘ＋５)
因数分解をする場合は、『たすき掛け』を利用します。たすき掛けの説明はここでは割愛しますが、『因数分解 たすき掛け』で検索すると詳細に解説してくれているサイトがたくさんあるのでそちらを参考にしてください。
この問題のように簡単な因数分解の場合は、たすき掛けを使用しない方が早い場合があります。
Ｘ²＋ａＸ＋ｂ
という二次方程式を因数分解する場合は、足してａになり、掛けてｂとなるような２つの数値を探します。その２つの数値がｃとｄだったとすると、因数分解の結果は、次のようになります。
(Ｘ＋ｃ)(Ｘ＋ｄ)
よって、今回の問題であれば、足して４、掛けて－５となる２つの数値を考えます。私がよくやる方法は、まずは掛けて－５となる２つの数値を全て洗い出します。そうすると次の２つ組合せが出てきます。
１ －５
－１ ５
更にこの２つの組み合わせの内、足して４となる２つの数値は、
－１ ５
だと分かります。よって、因数分解の結果は、
(Ｘ－１)(Ｘ＋５)
試験問題２の解答：－３＋４√３
ａｂ－４ｂにａとｂの値を代入していきます。
ａｂ－４ｂ
＝(４＋√３)(４－√３)－４(４－√３)
＝１６－√３²－１６＋４√３
＝１６－３－１６＋４√３
＝－３＋４√３
試験問題３の解答：６
自然数とは、１，２，３，４・・・といった１から順に１ずつ足していった数値です。覚え方としては、自然界に存在する数値と覚えておけばいいでしょう。動物を数えるときに使う数値は、１，２，３，４・・・といった数値ですよね。１.５といった小数や、１/３といった分数は使いません。
解き方は色々ありますが、一番簡単と思われる解き方で記載します。ａの範囲を求めたいので、問題の式を
ｘｘｘ＜ａ＜○○○
という形に変形させることで、ａの取り得る範囲が分かります。
４＜√３ａ＜４.５
上記の式を『ｘｘｘ＜ａ＜○○○』の形に変形させるためには、まず全項に√３を掛けます。
４√３＜√３√３ａ＜４.５√３
４√３＜√３²ａ＜４.５√３
４√３＜３√ａ＜４.５√３
次に全項を３で割ります。
４√３/３＜３√ａ/３＜４.５√３/３
４√３/３＜√ａ＜１.５√３
次に全項を２乗します。
(４√３/３)²＜(√ａ)²＜(１.５√３)²
１６√３²/９＜ａ＜２.２５√３²
１６×３/９＜ａ＜２.２５×３
１６/３＜ａ＜６.７５
５.３３３３＜ａ＜６.７５
これでａの取り得る範囲がわかりました。ａは自然数なので、求めたいａの値は６だとわかります。
試験問題４の解答：６
『１５０ｎ がある自然数の平方となる』という意味が分かり難いかもしれませんが、これはある自然数の２乗が１５０ｎになるということです。
ある自然数²＝１５０ｎ
または、
ある自然数＝√１５０ｎ
ということです。ここで１つこの問題を解くにあたり知っておきたい知識があります。
√１４４＝√１２²＝１２
√１４４＝√３²×４²＝１２
上記の様に平方根内の数値(１４４)が自然数(１２)になるためには、平方根内の数値が２乗の値に置き換えられる必要があります。これを知っていいればこの問題は簡単に解くことができます。
ある自然数＝√１５０ｎ
要は、１５０ｎが２乗の数値に置き換えることができればいいということです。まずは、ｎを無視し１５０に着目します。
１５０を分解していくと
１５０＝２×７５
＝２×３×２５
＝２×３×５×５
＝２×３×５²
上記の様に１５０という数値は『２×３×５²』になります。これが『２²×３²×５²』となって欲しいのです。よって、ｎが『２×３』であれば、『２²×３²×５²』という数値になってくれることが分かります。
ｎ＝２×３
よって、求めたい自然数ｎは６
補足
√１５０×６＝√９００＝３０
試験問題５の解答：Ｘ＝３０°
三角形ＡＢＤに着目
辺ＡＤ＝辺ＢＤなので、三角形ＡＢＤは２等辺三角形だとわかります。よって、次の角度が分かります。
∠ＤＡＢ＝４０°
∠ＡＤＢ＝１００°
∠ＡＤＣ＝８０°
三角形ＡＢＣに着目
辺ＡＢ＝辺ＢＣなので、三角形ＡＢＤは２等辺三角形だとわかります。よって、次の角度が分かります。
∠Ａ＝∠Ｃ
∠ＣをＹ°とした場合、次の式が成り立ちます。
∠Ａ＝∠Ｃ
∠Ａ＝４０°＋Ｘ
∠Ｃ＝Ｙ
よって、
４０°＋Ｘ＝Ｙ ・・・(１)
また、三角形の内角の和は１８０°なので次の式が成り立ちます。
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°
４０°＋Ｘ＋４０°＋Ｙ＝１８０°
Ｘ＋Ｙ＝１００ ・・・(２)
式(１)(２)の連立方程式を解けば求めたいＸの値が出てきます。
４０°＋Ｘ＝Ｙ ・・・(１)
Ｘ＋Ｙ＝１００ ・・・(２)
式(１)を変形させます。
Ｘ－Ｙ＝－４０ ・・・(１)
Ｘ＋Ｙ＝１００ ・・・(２)
式(１)＋(２)をすると
Ｘ－Ｙ＝－４０ ・・・(１)
Ｘ＋Ｙ＝１００ ・・・(２)
————————–
２Ｘ＝６０
Ｘ＝３０
よって、Ｘ＝３０°
試験問題６の解答：Ｘ＝３１°
辺ＯＢと辺ＯＡは円の半径なので同じ長さになります。よって、三角形ＯＡＢは二等辺三角形。このことより、次のことが分かります。
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ
∠ＡＯＢ＝１８０－６２＝１１８
三角形の内角の和は１８０°なので、∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡは、１８０－１１８＝６２°だと分かります。よって、∠ＯＡＢの角度は、
∠ＯＡＢ＝６２÷２＝３１°
よって、Ｘ＝３１°
※解説の内容が不明、不十分というのがあればコメントをください。
