大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成26年9月3日実施2)

放物線y=x²と関数y=ax+b（a、ｂは整数）が2点Ａ、Ｂで交わっている。点Ａのx座標は－1、点Ｂのx座標は3である。このとき、次の各問の答えとして正しいものをア～オの中から１つ選び、記号で答えなさい。

[問題１]関数y=ax+bを求めなさい

[問題２]原点Ｏを通り、△ＯＡＢの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

[問題３]座標1目盛りを1cmとしたとき、△ＯＡＢの面積を求めなさい。

解答と解説

問題１の解説：
点Ａのx座標が-1と分かっているので、y=x²に代入すると、y座標がわかる。

　y＝x²
　 ＝(-1)²＝1

よって、点Ａ(-1, 1)となる。更に点ＢのX座標も3と分かっているので、同様にy=x²に代入すると、y座標がわかる。

　y＝x²
　 ＝(3)²＝9

点Ｂ(3, 9)

点ＡとＢの座標が分かったので、関数y=ax+bに代入すると求めたい式がわかる。

関数y=ax+bに点Ａ(-1, 1)を代入
　1＝－1a+b ・・・（１）

関数y=ax+bに点Ｂ(3, 9)を代入
　9＝3a+b
　b=-3a+9 ・・・（２）

式（２）を（１）に代入する。
　1＝－1a-3a+9
　4a＝8
　 a＝2

a＝２が分かったので、これを（１）もしくは（２）に代入しbの値も求めます。
　b＝-3a+9
　b＝-3×2+9
　b＝3

よって、関数y=ax+bは、y=2x+3となる。

解答：ア

問題２の解説：
この問題は絶対にまともに解こうとしてはいけない。まともにやると、10分程度かかってしまう。数学の勉強をするためであれば、もちろんまともに解くべきだが、職業訓練の選考試験でそれをやると時間はいくらあっても足りない。むしろ、この問題を作った人もそれを求めていない。もし、求めているのであれば△ＯＡＢの面積を求める問題３が先に出題されるはずだ。それから2等分するというのが問題の流れになるべきです。

△ＯＡＢを2等分するということは、だいたい右図の青線の様な直線になることが想像できる。

ということは、直線ＡＢの式が問題１で求めたy=2x+3なので、直線の傾きは2xだとわかる。ここから言えることは、この直線と青色の直線が交わるためには、少なくとも傾きが2xよりも傾きが急でないといけない。

この時点で、解答群の選択肢、ア、ウ、オは消える。次にエのy=3xだが、傾きが2xより急なので直線ＡＢと交わることは確実だが少し緩すぎる。仮にx=3を代入してみる。

　y＝3x＝3×3＝9

よって、y=3xの直線は、座標(3, 9)を通ることがわかる。この座標(3, 9)と言えば、点Ｂといっしょである。このことより、y＝3xの直線は、直線ＯＢのことなので、エも選択肢から外れる。よって、残りはイだけになるので、解答はイとなる。

解答：イ

問題３の解説：
3つの座標の内、1点が原点（０，０）を通り、残り2点を（ａ，ｂ）、（ｃ，ｄ）とした場合、次の公式で面積が求められます。別の求め方として、2点間の距離と高さを求めて算出する方法もありますが、この公式を覚えておく方が圧倒的に簡単で早い。

この公式は3点の内、1点が原点を通らないと使えないと思われがちですが、3点とも原点を通らない場合はいずれか1点が原点を通るようにスライドさせればいいだけ。その方法は、下の補足事項の欄に記載しているので参考にして下さい。

よって、点Ａ(-1, 1)、Ｂ(3, 9)なので、

よって、求める解答は、6cm²のオ。

※補足
3つの座標の内、1点が原点（０，０）を通り、残り2点が（ａ，ｂ）、（ｃ，ｄ）を通る場合の三角形の面積の求め方。

上記の公式を使用するには、下のグラフの様に三角形の3点の内いずれか1点が原点(0,0)になっている必要があります。

しかし、問題によっては、下のグラフの様に3点いずれも原点(0,0)を通っていない場合があります。

では、公式が使えないのか？
となりますが一手間加えることで公式が使用できるようになります。その方法とは、点Ａ、Ｂ、Ｏのいずれかが原点にくるように3点をスライドさせればいいのです。

例えば、上のグラフであれば点ＯのＸ座標は2、Ｙ座標は1となっています。これをＸ座標を－2、Ｙ座標を－1方向にスライドさせると点Ｏが原点となります。この時、点Ｏだけをスライドさせるのではなく、点Ａ、Ｂも同様にＸ座標を－2、Ｙ座標を－1方向にスライドさせる必要があります。

スライドさせたのが下のグラフです。これで、公式が使用できるようになります。3点とも同じように移動させているので、三角形の面積が変わるようなことはありません。

解答：オ

※解説内容に不明な点があればコメント欄にコメントください。