東京 職業訓練 試験問題[筆記] 数学-問2(平成24年4月生)

次の問に答えなさい。

[問題1] ある材料箱に、一つあたりの重さが均一のネジが複数本入っています。このネジ15本の重さを量ると33gでした。また、この材料箱から適当に取り出したネジの重さを量ると165gでした。このとき、ネジの本数は何本ですか。

[問題2] 50kmの道のりを毎時10kmの速さで往復するときにかかる時間は、何時間ですか。

[問題3] 2桁の自然数があります。この自然数は、一位の数の5倍より2大きく、十位の数字と一位の数字を入れかえてできる自然数は、もとの自然数より36大きくなります。このとき、もとの自然数を求めなさい。

[問題4] ある学校の今年度の生徒数は、昨年度に比べて、女子が7%減少し、男子が8%増加していますが、全体では昨年度より2人少なく、348人でした。このとき、今年度の男女別人数のうち、多い方の人数は何人ですか。

[問題5] 図のように、三角形ABCがあります。辺BC上に任意の点Dをとり、点Aと結び、また、辺AD上に任意の点Eをとり、点Bと結びます。∠EBD=15°、∠CAD=30°、∠ACB=50°のとき、∠AEBは何度ですか。
tokyo-sugaku-h24-04-q2-1

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解答と解説

試験問題1の解答:
ネジ15本の重さが33gなので、1本当たりの重さは次の通りです。

 ネジ1本の重さ=33÷15=11/5

よって、ネジの総重量が165gの場合、そのネジの本数は次の通り。

  165 ÷ (11/5)
 =165 × (5/11)
 =75

解答:75本

試験問題2の解答:
速度、距離、時間を求める問題は頻繁に出題されるので、下記の公式は必ず覚えておくようにしましょう。

 速度 = 距離 ÷ 時間

この問題はささいなひっかけがあります。設問には『50㎞の道のり』とありますが、そのまま公式の距離に50kmを入れてしまうと間違いになる。設問は往復となっているので、50㎞ではなく、100㎞になります。

片道にかかる時間を先に求めて最後に2倍しても問題ありませんが、ここでは、あらかじめ距離を100㎞として計算します。

 速度 = 距離 ÷ 時間
 10 = 100 ÷ 時間
 時間 = 100 ÷ 10=10

解答:10時間

試験問題3の解答:
元の自然数の十の位の数字をX、一の位の数字をYと仮定し計算します。

※補足
元の自然数の十の位の数字をX、一の位の数字をYとした場合、元の自然数は、

 (X × 10) + Y

となります。

例)
元の自然数が57の場合、十の位の数字が5、一の位の数字が7となります。これを元の数字に戻すには、下記の通り。

 (5 × 10) + 7 = 57

元の自然数は、一位の数の5倍より2大きいということなので次の式が成り立ちます。

 (X × 10) + Y = (Y × 5) + 2
 10X + Y = 5Y + 2
 10X - 4Y = 2
 5X - 2Y = 1 ・・・(1)

次に、十位の数字と一位の数字を入れかえてできる自然数は、もとの自然数より36大きいということなので次の式が成り立ちます。

 (Y × 10) + X = (X × 10) + Y + 36
 10Y + X = 10X + Y + 36
 9Y - 9X = 36
 Y - X = 4 ・・・(2)

式(2)を式(1)へ代入すると、求めたいXとYの値が算出できます。計算の仕方は自分のやりやすいようにやって結構です。

式(2)を変形させる
 Y - X = 4 ・・・(2)
 Y = 4 + X

これを式(1)へ代入する

 5X - 2Y = 1 ・・・(1)
 5X - 2(4 + X) = 1
 5X - 8 -2X = 1
 3X = 9
 X = 3

Xが出ました。このXの値を式(2)へ代入し、Yの値も算出します。

 Y - X = 4 ・・・(2)
 Y - 3 = 4
 Y = 7

よって、元の自然数は、37

解答:37

試験問題4の解答:
昨年の男子の人数をX人と仮定します。昨年の全校生徒数は今年よりも2人多かったので350人。よって、昨年の男子、女子の人数は次の通り。

 昨年の男子の人数: X(人)
 昨年の女子の人数: 350 - X(人)

今年の女子の人数は、昨年より7%減少しているということなので次の通り。

 今年の女子の人数: 0.93(350 - X) ・・・(1)

更に今年の男子の人数は、昨年より8%増加しているといういことなので次の通り。

 今年の男子の人数: 1.08X ・・・(2)

そして、今年の全校生徒数は348人。これは今年の男女の人数(1)(2)の合計に等しいはずなので次の式が成り立ちます。

 348 = 0.93(350 - X) + 1.08X

この式を解くと昨年の男子人数Xが求まります。

 348 = 0.93(350 - X) + 1.08X
 348 = 325.5 - 0.93X + 1.08X
 1.08X - 0.93X = 348 - 325.5
 0.15X = 22.5
 X = 150

よって、昨年の男子と女子の人数は次の通り。

 昨年の男子人数: 150人
 昨年の女子人数: 200人(350-150)

しかし、知りたいのは今年の男女の人数。式(2)に昨年の男子人数X=150 を代入して今年の男女人数を求めます。もちろん式(1)に代入してもかまわないが、式(2)の方がやや計算が楽。

 今年の男子の人数: 1.08X ・・・(2)
 =1.08 × 150 = 162人

全校生徒数が348人なので女子の人数は、

 348 - 162 = 186人

よって、求めたい今年の男女別人数の内、多い方の人数は、186人

解答:186人

試験問題5の解答:
分かっている角度をつぶしていくと簡単に求まります。

tokyo-sugaku-h24-04-q2-2∠CAD=30°、∠ACB=50°なので、∠ADC=100°となります。

また、∠ADC=100°なので、∠EDB=80°だとわかります。∠EBD=15°なので、∠BED=85°とわかります。

よって、∠AEB=180-85=95° となる。

解答:95°


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