東京 職業訓練 試験問題[筆記] 数学-問2(平成24年10月生)

次の問に答えなさい。

[問題1] りんご1個の値段はみかん1個の値段より30円高いです。りんご8個とみかん6個を買ったとき、合計代金が 1,360円でした。このとき、りんご1個の値段は何円ですか。ただし、消費税は考えないものとします。

[問題2] 歯数が48の歯車Aと歯数が36の歯車Bがかみあって回転しています。歯車Aが9回転するとき、歯車Bは何回転しますか。

[問題3] 男女合わせて36人在籍するクラスでテストをしました。男子の平均点が71点、女子の平均点が80点、クラス全体の平均点は75点でした。このとき、クラスの男子の人数は何人ですか。

[問題4]  100円玉3枚と50円玉2枚を同時に投げたとき、表になった硬貨の合計金額が250円以上になる確率を分数で求めなさい。

[問題5] 図のような1辺の長さが5cmの正方形ABCDがあります。点AとBCの中点Eとを結んだ線分AEに点Dから垂線を引き、その交点をFとします。 このとき、四角形CDFEの面積は何cm2ですか。ただし、分数で答えなさい。
tokyo-sugaku-h24-10-q2-1

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解答と解説

試験問題1の解答:
求めたいりんご1個の値段をXと仮定すると、りんごとみかん1個の値段は次のように表すことができます。

 りんご1個の値段: X
 みかん1個の値段: X-30

また、りんご8個とみかん6個を買ったとき、合計代金が 1,360円ということなので次の式が成り立ちます。

 8X + 6(X-30)=1360

この式を解くと、求めたいりんご1個の値段Xが求まります。

 8X + 6(X-30)=1360
 14X=1360+180
 14X=1540
 X=110

解答:110円

試験問題2の解答:
歯数が48の歯車が9回転した場合、歯車AとBの接点を通過した歯数は次の通り。
 接点を通過した歯数=48×9=432

歯車Bの歯数は36なので、1回転あたり接点を36の歯が通過することになる。よって、432の歯数が通過した場合、歯車Bが回った回転数は次の通り。
 歯車Bの回転数=432÷36=12

解答:12回転

試験問題3の解答:
求めたい男子の人数をXと仮定した場合、男子と女子の人数は次のようになります。
 男子人数: X
 女子人数: 36-X

男子の平均点が71点なので、男子全員の合計得点は次の通り。
 男子の合計得点=71X

女子の平均点が80点なので、女子全員の合計得点は次の通り。
 女子の合計得点=80(36-X)=2880-80X

男女合わせたクラス全員の平均点が75点ということなので次の式が成り立ちます。
 男女合計得点 ÷ 男女人数 = 男女平均得点
 (71X+2880-80X) ÷ (X+36-X)=75

この式を解くと求めたい男子の人数Xが求まります。
 (71X+2880-80X) ÷ (X+36-X)=75
 (2880-9X) ÷ 36 = 75
 2880-9X = 75 × 36
 -9X = 2700 - 2880
 -9X = -180
 X = 20

解答:20人

試験問題4の解答:
金額の合計が250円以上になる確率を求めるには、次の計算をする必要があります。

 確率=(250円以上になる組み合わせ数) ÷ (総組合せ数)

よって、まずは『250円以上になる組み合わせ数』と『総組合せ数』を算出しなければなりません。『250円以上になる組み合わせ数』を求めるには組み合わせの公式を利用します。組み合わせの公式は次の通り。

saitama-sugaku-h24-t-q2-1

250円以上になる組み合わせ数
合計金額が250円以上になるためには、100円玉、50円玉はそれぞれ次の枚数表になる必要があります。

①100円が3枚表向きで、50円はすべての組み合せ——>3c3×(2^2)=4
②100円が2枚表向きで、50円が1枚以上表向きの組み合わせ——>3c2×(2c2+2c1)=3×(1+2)=9

 (100円が2枚)かつ(50円が1枚)
 (100円が2枚)かつ(50円が2枚)
 (100円が3枚)かつ(50円が0枚)
 (100円が3枚)かつ(50円が1枚)
 (100円が3枚)かつ(50円が2枚)

そして、これらの組み合わせ数を求める必要があります。

(100円が2枚)かつ(50円が1枚)となる組み合わせ数
  3C2 × 2C1
 =(3×2)/(2×1) × (2/1)
 =3 × 2
 =6

(100円が2枚)かつ(50円が2枚)となる組み合わせ数
  3C2 × 2C2
 =(3×2)/(2×1) × (2×1)/(2×1)
 =3 × 1
 =3

(100円が3枚)かつ(50円が0枚)となる組み合わせ数
  3C3 × 2C0
 =(3×2×1)/(3×2×1) × 1
 =1 × 1
 =1

ここは、難しい。
2C0 は、0では? となりがちなのですが、『nCr』のn、rは本来1以上定義されており、r=0となる場合は、『nCr=nC0=1』となります。

(100円が3枚)かつ(50円が1枚)となる組み合わせ数
  3C3 × 2C1
 =(3×2×1)/(3×2×1) × (2/1)
 =1 × 2
 =2

(100円が3枚)かつ(50円が2枚)となる組み合わせ数
  3C3 × 2C1
 =(3×2×1)/(3×2×1) × (2×1)/(2×1)
 =1 × 1
 =1

これらの合計が250円以上となる組み合わせすうになります。
 6+3+1+2+1=13通り

総組合せ数
100円玉3枚を投げたときの裏表の組み合わせ数を求めます。1枚の硬貨は裏表の2パターン存在し、これが3枚あるので組み合わせ数は次の通り。
 2×2×2=8通り

次に同じように50円玉2枚を投げたときの組合数を求めます。1枚の硬貨は裏表の2パターン存在し、これが2枚あるので組み合わせ数は次の通り。
 2×2=4通り

よって、総組合せ数は次の通り。
 8×4=32通り

確率を求める
総組合せ数32通り、その内、250円以上になる組み合わせ数が13通りと分かりました。よって、求める確率は次の通り。
 確率=13÷32=13/32

解答:13/32

試験問題5の解答:
tokyo-sugaku-h24-10-q2-4頂点Bから線分AEに垂線BGを引くと、角の関係により △BGE、△AGB、△DFAは すべて△ABEと相似で、AB=DAより △AGBと△DFAは合同となります。

△ABE=5×(5/2)×1/2=25/4 (c㎡)

EG:BG=EB:AB=1:2
BG:AG=EB:AB=1:2=2:4
よって、EG:AG=1:4

△AGB=△ABE×AG/AE=(25/4)×4/(1+4)=5 (c㎡)
△DFA=△AGB=5 (c㎡)

四角形CDFE=正方形ABCD-△DFA-△ABE
=5×5-5-(25/4)
=55/4 (c㎡)

しかし、計算はここで終わらないようにしたい。

問題用紙の初めに記載されている注意事項に次のような事項が記されています。

tokyo-sugaku-h25-07-q1-1

よって、55/4=13(3/4) まで計算をしておきたい。

解答:13(3/4)


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