平成30年 広島県高等技術専門校入校選考試験問題 問6、問7の解答と解説

試験問題 問６

次の各問いに答えなさい。

（１）Ｘ＝35、ｙ＝47のとき、2Ｘ－ｙ－(Ｘ－ｙ)の値を求めなさい。

（２）√2＝1.414として、√0.5の値を四捨五入して、小数第2位まで求めなさい。

（３）次の方程式を解きなさい。
Ｘ²＋12＝－8Ｘ

（４）次の連立方程式を解きなさい。
Ｘ＋2ｙ＝3
Ｘ＋4ｙ－7＝0

（５）次の式を因数分解しなさい。
p²－5pq－6q²

解答と解説

(１)の解答：35

2Ｘ－ｙ－(Ｘ－ｙ)
＝2×35－47－(35－47)
＝35

上記のように真面目に計算をしても構いませんが、計算時間を短縮するには以下のようにＸとｙに代入する前に計算してしまうことが大事。

2Ｘ－ｙ－(Ｘ－ｙ)
＝2Ｘ－ｙ－Ｘ＋ｙ
＝Ｘ
＝35

(２)の解答：0.71

√0.5
＝√1√2
＝1√2
＝11.414
＝0.707
＝0.71

(３)の解答：Ｘ＝－6、－2

Ｘ²＋12＝－8Ｘ
Ｘ²＋8Ｘ＋12＝0
(Ｘ+6)(Ｘ+2)＝0
Ｘ＝－6、－2

(４)の解答：Ｘ＝－1、ｙ＝2

Ｘ＋2ｙ＝3・・・①
Ｘ＋4ｙ－7＝0・・・②

式①－式②をします。

(Ｘ＋2ｙ)－(Ｘ＋4ｙ－7)＝3
－2ｙ＋7＝3
－2ｙ＝－4
ｙ＝2

ｙの値を式①に代入します。

Ｘ＋2ｙ＝3・・・①
Ｘ＋2×2＝3
Ｘ＋4＝3
Ｘ＝－1

よって、Ｘ＝－1、ｙ＝2

(５)の解答：(p－6q)(p＋q)

p²－5pq－6q²
(p－6q)(p＋q)

試験問題 問７

次の各問いに答えなさい。

（１）3点、Ａ(3,5)、Ｂ(－3,0)、Ｃ(1,－1)を頂点とする△ABCの面積を求めなさい。

（２）下の図で、ｌとｍとｎが平行のとき、Ｘの長さを求めなさい。

（３）下の図で、∠Ｘの大きさを求めなさい。

解答と解説

(１)の解答：13

点ＡＢＣを頂点とする△ＡＢＣをグラフ上に書き込むと下図のようになります。

解き方はいくつかあり、最も短時間で解く方法は『平面上の三点を通る三角形の面積を求める公式』を使った解き方ですが、現役学生でない限り頭に入れている人は少ないと思うので、今回は一般的な解き方で解説します。

三角形の面積は、下図の2つの三角形に分けて考えていきます。

線分ACとＸ軸との交点Ｄの座標を求めます。

点ＡＣを通る直線の式
Y＝ａＸ＋ｂ

点Ａ(3,5)を通るのでＸ＝3、Ｙ＝5を代入する。
5＝3ａ＋ｂ・・・①

点Ｂ(－1,1)を通るのでＸ＝1、Ｙ＝－1を代入する。
－1＝ａ＋ｂ・・・②

式①－式②をして傾きａを求めます。
5－(－1)＝(3ａ＋ｂ)－(ａ＋ｂ)
6＝2ａ
ａ＝3

ａの値を式①へ代入し、切片ｂの値を求めます。
5＝3ａ＋ｂ
5＝3×3＋ｂ
ｂ＝－4

よって、点ＡＣを通る直線の式は次の通り。
Ｙ＝3Ｘ－4

この式にＹ＝0を代入しＸ軸との交点座標を求めます。
Ｙ＝3Ｘ－4
0＝3Ｘ－4
Ｘ＝43

よって、点Ｂと点Ｄの距離は次の通り。
点ＢＤ間の距離＝3＋43
　　　　　　　＝133

線分ＢＤは△ＡＢＤと△ＢＣＤの底辺となります。また、△ＡＢＤの高さは点ＡのＹ座標にあたるので5、△ＢＣＤの高さは点ＣのＹ座標の絶対値にあたるので1となります。よって、△ＡＢＤと△ＢＣＤの面積は次の通り。

△ＡＢＤの面積＝133×5÷2
　　　　　　　＝656

△ＡＢＤの面積＝133×1÷2
　　　　　　　＝136

△ＡＢＣの面積＝△ＡＢＤの面積＋△ＡＢＤの面積
　　　　　　　＝656＋136
　　　　　　　＝786
　　　　　　　＝13

(２)の解答：354

平行線ｌとｍに囲まれた台形と、平行線ｍとｎに囲まれた台形は4つの内角がすべて等しいので相似な台形図です。よって、以下の相似比が成り立ちます。

5：Ｘ＝4：7

これを解くとＸの長さが求まります。

5：Ｘ＝4：7
4Ｘ＝5×7
4Ｘ＝35
Ｘ＝354

(３)の解答：Ｘ＝40°

まずは、下図のようにＤＢ間に線を引き△ＡＢＤについ考えます。

円の中心線を一辺とする三角形の円周角は必ず90°となります。よって、∠ＣＤＢ＝40°

同じ弧をもつ円周角はすべて等しくなるので、同じ弧を持つＣＡＢとＣＤＢは、∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢとなりＸ＝40°だとわかります。

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