長崎 職業訓練 選考試験問題 数学-問1(平成30年度入校)

試験問題 問１

次の各設問の解答として正しいものをア～エの中から選びなさい。

（１）34－23＋16を計算しなさい。

（２）9÷(－3)－16×(－12)³

（３）生徒４０人のクラスがある。男子と女子の人数の比が ３：２ であるとき、男子の人数を求めなさい

（４）(√3＋√6)²－(√3－√6)²を計算しなさい。

（５）(3X－2Y)2－(2X－3Y)3を計算しなさい。

（６）1次不等式3(X－2)＞2(5X－4)を解きなさい。

（７）2次方程式 (Ｘ＋2)²＝5Ｘ²＋1 の解を求めなさい。

（８）(ａ²－ａｂ＋ｂ²)(ａ²＋ａｂ＋ｂ²)を展開しなさい。

（９）9Ｘ²－6Ｘ＋1－4Ｙ² を因数分解しなさい。

解答と解説

(１)の解答：イ

34－23＋16

＝912－812＋212

＝312

＝14

(２)の解答：エ

引き算よりも掛け算と割り算の計算の方が優先順位が高い点に注意。

9÷(－3)－16×(－12)³
＝(－3)－16×(－18)
＝(－3)－(－2)
＝－1

(３)の解答：イ

求めたい男子の人数をＮ人と仮定した場合、以下の式が成り立ちます。

3：2＝Ｎ：(40－Ｎ)

上の式を解くと求めたい男子の人数Ｎが求まります。

3：2＝Ｎ：(40－Ｎ)
2Ｎ＝3(40－Ｎ)
2Ｎ＝120－3Ｎ
5Ｎ＝120
Ｎ＝24

よって、男子の人数は24人

真面目に計算をすると上記のような計算の流れで解を導くのですが、比が3：2ということは、人数を5つに分割した内の3が男子で、2が女子だと考えれば簡単に結果が求まります。

40人を5つに分割するので、1つ当たり8人です。そのうち3つが男性なので3×8＝24人と頭の中だけで答えを求めることができます。

(４)の解答：ウ

(√3＋√6)²－(√3－√6)²

＝(√3²＋2√3√6＋√6²)－(√3²－2√3√6＋√6²)

＝√3²＋2√3√6＋√6²－√3²＋2√3√6－√6²

＝4√3√6

＝4√3√3√2

＝12√2

(５)の解答：ア

(3X－2Y)2－(2X－3Y)3

＝3(3X－2Y)－2(2X－3Y)6

＝9X－6Y－4X＋6Y6

＝5X6

(６)の解答：ウ

3(X－2)＞2(5X－4)
3X－6＞10X－8
3X－10X＞－8＋6
－7X＞－2
X＜27

(７)の解答：エ

(Ｘ＋2)²＝5Ｘ²＋1
Ｘ²＋4Ｘ＋4＝5Ｘ²＋1
4Ｘ²－4Ｘ－3＝0・・・①

因数分解をします。
4Ｘ²－4Ｘ－3＝0
4(Ｘ²－Ｘ)－3＝0
4(Ｘ－1/2)²－1－3＝0
4(Ｘ－1/2)²－4＝0
(Ｘ－1/2)²－1＝0
(Ｘ－1/2)²＝1
Ｘ－1/2＝±√1
Ｘ－1/2＝±1
Ｘ＝±1＋1/2
　＝3/2、－1/2

今回の因数分解は『(Ｘ＋◯)(Ｘ＋△)＝0』の形式にすることができず。平方完成という方法を利用する必要があります。（解の公式を用いて解いても構いません。）

選択問題の場合は、解答群から直接式①に値を代入し式が成り立つものを選ぶ方が早い場合もあります。

(８)の解答：ウ

真面目に計算するのではなく、一時的にａ²＋ｂ²をＡなどに置き換えて計算し、後から元に戻すようにした方が計算は楽になります。

(ａ²－ａｂ＋ｂ²)(ａ²＋ａｂ＋ｂ²)

ａ²＋ｂ²＝Ａと仮定する。

＝(Ａ－ａｂ)(Ａ＋ａｂ)
＝Ａ²－ａ²ｂ²

Ａの値を元に戻す

＝(ａ²＋ｂ²)²－ａ²ｂ²
＝ａ⁴＋2ａ²ｂ²＋ｂ⁴－ａ²ｂ²
＝ａ⁴＋ａ²ｂ²＋ｂ⁴

(９)の解答：ア

9Ｘ²－6Ｘ＋1－4Ｙ²
＝(3Ｘ－1)²－4Ｙ²

ここで知っておいて欲しいのが以下の式が成り立つ点です。

ａ²－ｂ²＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)

よって、(3Ｘ－1)²－4Ｙ²は次のように因数分解することができます。

＝(3Ｘ－1)²－4Ｙ²
＝(3Ｘ－1)²－(2Ｙ)²
＝(3Ｘ－1＋2Ｙ)(3Ｘ－1－2Ｙ)
＝(3Ｘ＋2Ｙ－1)(3Ｘ－2Ｙ－1)

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