このページは平成30年度入校の長崎県立高等技術専門校(職業訓練校)一般選考試験問題の問3の解答と解説を記載しています。

問1、問2、問4に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。

実際の試験の問題のPDF用紙は以下のページで確認することができます。

平成30年度生 職業訓練入校試験問題

試験問題 問3

次の各設問の回答として正しいものをア~エの中から選びなさい。

[1] 図のような円に内接する直角三角形ABCがある。∠ACB=90°、∠BAC=θ、線分BC=a、線分AC=b、線分AB=c のとき、次の各設問に答えなさい。

円に内接する三角形

(1)sinθをa、b、cを用いて表しなさい。

[解答群]

(2)θ=30°、a=5とするとき、外接円の半径を求めなさい。

[解答群]

  • 52
  • 5
  • 5√2
  • 5√3

[2] 図のような四角形ABCDが円に内接し、∠CDA=60°、∠BCA=30°、線分CD=6、線分AD=8のとき、次の各設問に答えなさい。

円に内接する三角形

(1)線分ACの長さを求めなさい。

[解答群]

  • 7
  • 8
  • 13
  • 2√13

(2)三角形ABCの面積を求めなさい。

[解答群]

  • 212
  • 7√132
  • 13√33
  • 13√36

[1]の解答と解説

(1)の解答:

この問題は三角比の定義を知っていればすぐに解ける問題です。

三角比の定義

問題の図は下図です。上に記載した三角比の定義のABCの配置場所が異なるので注意してくださいね。

円に内接する三角形

sinθ=BCAB

(2)の解答:

この問題を解くには、(1)で解説した『三角比の定義』と『タレスの定理』、『三角比(sin30°の値)』を知っている必要があります。

タレスの定理

直径に対する円周角は直角である

要は、円に内接する三角形の一角が90°の場合、その対辺は必ず円の直径となります。要は、今回の問題であれば辺ABが円の直径となります。よって、まずは、辺ABの長さを求めます。

円に内接する三角形

三角比の定義より、以下の式が成り立ちます。

sin30°=5

『sin30°=12』なので辺cの長さは次のようになります。

125

c=5×2=10

よって、円の直径である辺ABの長さは10と分かりました。設問で求められてるのは円の半径なので、10÷2=5

[2]の解答と解説

(1)の解答:

点Cから辺ADに対して垂線を下ろし、その交点を点Eとします。

円に内接する三角形

CEの長さは、三角比の定義より次の通りになります。

sin60°=CEDC
32CE6

CE=32×6
CE=3√3

次にDEの長さを求めます。DEの長さは、三角比の定義より次の通りになります。

cos60°=6DE
126DE
DE=3

よって、AEの長さは8-3=5となります。

三角比の定義で辺の長さを求める

次に辺ACの長さを求めるのですが、三平方の定理を利用します。

三平方の定理

AC²=CE²+AE²
AC²=(3√3)²+5²
AC²=27+25
AC²=52
AC=2√13

(2)の解答:

円に内接する四角形の対角の和は必ず180°となります。よって、∠CDA+∠ABC=180°となります。

これにより、∠CDA=60°と分かっているので、∠ABC=120°となります。よって、∠BAC=30°となり、三角形ABCは二等辺三角形だと分かります。

円に内接する三角形の面積

点Bから辺ACに垂線を下ろし、その交点を点Fとします。ACの長さは(1)で2√13と分かっています。よって、△ABCは二等辺三角形なのでCFの長さは√13となります。

円に内接する三角形の面積

三角比の定義のtanθを利用すればBFの長さが求まります。

tan30°=BFCF
13BF13
BF=133

よって、△ABCの面積は次の通り。

△ABCの面積=AC×BF÷2
     =2√13×133÷2
     =133
     =13√33

※記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。