長崎 職業訓練 選考試験問題 数学-問3(平成30年度入校)

試験問題 問３

次の各設問の回答として正しいものをア～エの中から選びなさい。

[１]　図のような円に内接する直角三角形ＡＢＣがある。∠ＡＣＢ＝90°、∠ＢＡＣ＝θ、線分ＢＣ＝ａ、線分ＡＣ＝ｂ、線分ＡＢ＝ｃ のとき、次の各設問に答えなさい。

（１）sinθをａ、ｂ、ｃを用いて表しなさい。

（２）θ＝30°、ａ＝5とするとき、外接円の半径を求めなさい。

[２]　図のような四角形ＡＢＣＤが円に内接し、∠ＣＤＡ＝60°、∠ＢＣＡ＝30°、線分ＣＤ＝6、線分ＡＤ＝8のとき、次の各設問に答えなさい。

（１）線分ＡＣの長さを求めなさい。

（２）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

［１］の解答と解説

(１)の解答：イ

この問題は三角比の定義を知っていればすぐに解ける問題です。

問題の図は下図です。上に記載した三角比の定義のＡＢＣの配置場所が異なるので注意してくださいね。

sinθ＝BCAB＝ａｃ

(２)の解答：イ

この問題を解くには、（１）で解説した『三角比の定義』と『タレスの定理』、『三角比(sin30°の値)』を知っている必要があります。

要は、円に内接する三角形の一角が90°の場合、その対辺は必ず円の直径となります。要は、今回の問題であれば辺ＡＢが円の直径となります。よって、まずは、辺ＡＢの長さを求めます。

三角比の定義より、以下の式が成り立ちます。

sin30°＝5ｃ

『sin30°＝12』なので辺ｃの長さは次のようになります。

12＝5ｃ

ｃ＝5×2＝10

よって、円の直径である辺ＡＢの長さは10と分かりました。設問で求められてるのは円の半径なので、10÷2＝5

［２］の解答と解説

(１)の解答：エ

点Ｃから辺ＡＤに対して垂線を下ろし、その交点を点Ｅとします。

CEの長さは、三角比の定義より次の通りになります。

sin60°＝CEDC
√32＝CE6

CE＝√32×6
CE＝3√3

次にDEの長さを求めます。DEの長さは、三角比の定義より次の通りになります。

cos60°＝DE6
12＝DE6
DE＝3

よって、AEの長さは8-3＝5となります。

次に辺ACの長さを求めるのですが、三平方の定理を利用します。

AC²＝CE²＋AE²
AC²＝(3√3)²＋5²
AC²＝27＋25
AC²＝52
AC＝2√13

(２)の解答：ウ

円に内接する四角形の対角の和は必ず180°となります。よって、∠CDA＋∠ABC＝180°となります。

これにより、∠CDA＝60°と分かっているので、∠ABC＝120°となります。よって、∠BAC＝30°となり、三角形ABCは二等辺三角形だと分かります。

点Bから辺ACに垂線を下ろし、その交点を点Fとします。ACの長さは（１）で2√13と分かっています。よって、△ABCは二等辺三角形なのでCFの長さは√13となります。

三角比の定義のtanθを利用すればBFの長さが求まります。

tan30°＝BFCF
1√3＝BF√13
BF＝√13√3

よって、△ABCの面積は次の通り。

△ABCの面積＝AC×BF÷2
　　　　　＝2√13×√13√3÷2
　　　　　＝13√3
　　　　　＝13√33

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