沖縄 職業訓練 平成27年10月 試験問題と解答 問題4

具志川職業能力開発校、浦添職業能力開発校 共通

直線ｙ＝２ｘ＋１ ････① のグラフはｘ軸、ｙ軸とそれぞれ２点Ａ、Ｂで交わり、①上のｘ座標が２である点Ｅにおいて傾き－１の直線②と交わる。また、②のグラフとｘ軸、ｙ軸との交点はそれぞれ点Ｃ、Ｄであるとする。次の問に答えなさい。ただし、原点をＯとする。

[問題1]　直線②の式を求めなさい。

[問題2]　四角形ＥＢＯＣの面積を求めなさい

解答と解説

試験問題１の解答：ｙ＝－ｘ＋７
まずは、実際にグラフを描いた方が間違える可能性が低くなります。

　ｙ＝２ｘ＋１

のグラフは、ｙ軸の切片が１、傾きが２の直線グラフだと分かります。グラフにすると下図の通りです。

さらにこの直線①のｘ座標が２である点で傾き－１の直線②と交わるということなので、直線②のグラフ式は次の通り。

直線①のｘ座標が２である点Ｅを通るということなので、点Ｅは、直線①の式にｘ＝２を代入すればｙ座標が求まります。

　ｙ＝２ｘ＋１
　ｙ＝２×２＋１
　ｙ＝５

よって、点Ｅの座標はＥ(２、５)。更に傾きが－１のグラフだと分かっているので、直線式にこれらの分かっている値を代入すると、直線②の式が求まります。

　ｙ＝ａｘ＋ｂ

傾きが－１なので、ａ＝－１だとわかります。

　ｙ＝－ｘ＋ｂ

更に点Ｅ(２、５)を通るので、上の式に代入すると切片ｂが求まります。

　５＝－２＋ｂ
　ｂ＝７

よって、直線②の式は、

　ｙ＝－ｘ＋７

試験問題２の解答：１８.５
直線①と②グラフ図は下図の通り。

まずは、直線①がｘ軸とｙ軸で交わる点、ＡとＢの座標を求めます。
ｙ＝２ｘ＋１ ････①

Ａ座標を求める
Ａ点はグラフ①がＸ軸と交わる点なのでｙ座標は0だと分かります。よって、残るｘ座標はグラフ①式にｙ＝0を代入することで求まります。

ｙ＝２ｘ＋１ ････①
０＝２ｘ＋１
－２ｘ＝１
ｘ＝－１/２

上のグラフ図はＡ点(１/２,０) となっていますが、間違いですね。正しくは、(―１/２,０)です。

Ｂ座標を求める
Ｂ点はグラフ①がｙ軸と交わる点なのでｘ座標は0だと分かります。よって、残るｙ座標はグラフ①式にｘ＝0を代入することで求まります。

ｙ＝２ｘ＋１ ････①
ｙ＝２x０＋１
ｙ＝１

よって、Ｂ点の座標は、(０,１)

次に点Ｃ、Ｄの座標を求めていきます。
直線②のｘ座標とｙ座標の交点が点Ｃ、Ｄということなので、点ＣとＤの座標は次の通り。

点Ｃの座標
ｙ＝０を式②へ代入
　ｙ＝－ｘ＋７
　０＝－ｘ＋７
　ｘ＝７

よって、点Ｃの座標は(７, ０)

点Ｄの座標
ｘ＝０を式②へ代入
　ｙ＝－ｘ＋７
　ｙ＝－０＋７
　ｙ＝７

よって、点Ｄの座標は(０, ７)

グラフ図にすると下図の通り。

そして、四角形ＥＢＯＣは次の通り。

四角形ＥＢＯＣの面積を求めるには、まずは、三角形ＡＥＣの面積を求め、そこから三角形ＡＢＯを引くことで求めます。

三角形ＡＥＣの面積
点Ａから点ＣのＸ座標の距離は、７.５
これが底辺の長さになります。

更に点ＥからＸ軸に垂直に下ろしＸ軸と交わるまでの距離は点Ｅのｙ座標と等しいので、５だと分かります。これが三角形ＡＥＣの高さになります。よって、三角形ＡＥＣの面積は

　三角形ＡＥＣの面積＝７.５×５÷２＝１８.７５

三角形ＡＢＯの面積
点Ａと点ＯのＸ座標の距離は、０.５
これが底辺の長さになります。

更に点Ｂと点Ｏのｙ座標の距離が高さとなります。点Ｏは原点なので、高さは点Ｂのｙ座標である１だと分かります。よって、三角形ＡＢＯの面積は

　三角形ＡＢＯの面積＝０.５×１÷２＝０.２５

よって、四角形ＥＢＯＣの面積は

　四角形ＥＢＯＣの面積＝１８.７５－０.２５＝１８.５

※解説の内容が不明、不十分というのがあればコメントをください。