問1～3に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
図のように、放物線ｙ＝ｘ²/2上に、2点A、Bがあり、点Aのx座標は－4である。点Aと点Bのｙ座標の比は4：1 で、直線ABとy軸との交点をCとする。また、△OABの面積は12として以下の問いにア～オから選んで答えなさい。
[問題1] 点Bの座標を求めなさい。
[解答群]
ア (1,1) イ (2,1) ウ (1,2) エ (2,2) オ (2,3)
[問題2] △OBCの面積を求めなさい。
[解答群]
ア 10 イ 8 ウ 6 エ 5 オ 4
解答と解説
試験問題１の解答：エ
点Ａの座標を求める
点Ａのｘ座標は－4なので、ｙ座標は次の通り。
ｙ＝ｘ²/2
＝(－4)²/2
＝16/2
＝8
点Ａの座標(－4,8)
点Ｂの座標を求める
次に点Ａと点Ｂのｙ座標の比が4：1ということは、点Ｂのｙ座標は点Ａのｙ座標の1/4ということになります。よって、点Ｂのｙ座標は2となります。
よって、点Ｂのｘ座標は次の通り。
ｙ＝ｘ²/2
2＝ｘ²/2
ｘ²＝4
ｘ＝±2
ｙ＝2のとき、ｘ座標の取りうる値は2と－2の2通りあるが、点Ｂは直線と放物線がプラス側で交わる点なので、ｘ＝2となります。
点Ｂの座標(2,2)
試験問題２の解答：オ
辺OCを△OBCの底辺とすると、点Bからｙ軸に垂線を下した長さが△OBCの高さとなります。
点Ｃの座標を求める
直線ＡＢの傾きをａ、ｙ軸との交点をｂとした場合、直線の式は次のようになります。
ｙ＝ａｘ＋ｂ
この直線は点Ａと点Ｂを通ることから次のように傾きａと切片ｂが求まります。
ｙ＝ａｘ＋ｂ
点Ａの座標(－4,8)を通るので、
8＝－4ａ＋ｂ ・・・(１)
更に点Ｂの座標(2,2)を通るので
2＝2ａ＋ｂ ・・・(２)
式(１)(２)の連立方程式を解くとａとｂの値が求まります。
8＝－4ａ＋ｂ ・・・(１)
2＝2ａ＋ｂ ・・・(２)
———————-
6＝－6ａ
ａ＝－1
「ａ＝－1」を式(１)か(２)に代入します。
2＝2ａ＋ｂ ・・・(２)
2＝2x(－1)＋ｂ
ｂ＝4
よって、直線の式は次の通り。
ｙ＝－ｘ＋4
このことより、点Ｃの座標は次の通り。
点Ｃの座標(0,4)
△OBCの面積を求める。
点Ｃの座標が(0,4)なので、辺OCの長さは4と分かります。更に点Ｂからｙ軸に垂線を下した長さは点Ｂのｘ座標に相当するので、2だとわかります。
よって、△OBCの面積は次の通り。
△OBCの面積＝4×2÷2＝4
※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容も不明であれば遠慮なくコメントください。
