問1～2、問4に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
図の四角形ABCDは正方形で、Eは辺ABの中点、F、Gは辺DC上の点でDF＝FG/2＝GC である。また、PはAGとEFとの交点、QはAGとBFとの交点である。AB＝4cm のとき、以下の問いにア～オから選んで答えなさい。
[問題1] 線分EFの長さを求めなさい。
[解答群]
ア √17 cm イ 4 cm ウ √15 cm エ 2√5 cm オ 4√3 cm
[問題2] 四角形PEBQの面積を求めなさい。
[解答群]
ア 4 cm² イ 4/3 cm² ウ 10/3 cm² エ 2 cm² オ 5/2 cm²
解答と解説
試験問題１の解答：ア
DF＝(FG)/2＝GCということより、DF,FG,GCの比率は下記だと分かります。
DF：FG：GC＝1：2：1
よって、辺DCの長さは4㎝なので、DF,FG,GCの長さは下記の通りになります。
DF＝1㎝
FG＝2㎝
GC＝1㎝
点Fから辺ABに垂線を下しその交点をRとします。三角形FREは直角に等辺三角形になるので、三平方の定理で各辺の長さを求めることができます。
辺FRの長さ
正方形の一辺の長さと等しいので4㎝
REの長さ
AEは2㎝、DFは1㎝と分かっているので、REの長さは1㎝
EFの長さ
三平方の定理より下記の通りになります。
ａ²＝ｂ²＋ｃ²
EF²＝FR²＋RE²
EF²＝4²＋1²
EF²＝16＋1
EF＝√17
試験問題２の解答：ウ
三角形AQBと三角形GQFは、3つの内角が等しいので相似な三角形になります。底辺である辺ABと辺FGの長さ比が2：1なので、三角形AQBの高さとなる点Qから辺ABに垂線を下したQEと、三角形GQFの高さとなる点Qから辺FGに垂線を下したQSの長さも2：1となります。
QE：QS＝2：1
QS＝QE/2
QEとQSの長さを足すと4になるので次の式が成り立ちます。
QE＋QS＝4
QS＝QE/2なので、これを上記の式に代入すると
QE＋QS＝4
QE＋QE/2＝4
3QE＝8
QE＝8/3
三角形QABの面積を求める
△QABの面積＝4x(8/3)÷2＝16/3
三角形APEの面積を求める
点Pから辺AEに垂線を下した点を点Tとします。三角形APEと三角形GPFは各辺の長さと3つの内角が等しいので合同な三角形です。よって、PTの長さは2㎝だと分かります。よって、三角形APEの面積は次の通り。
△APEの面積＝2×2÷2＝2
四角形PEBQの面積は、三角形QABの面積から三角形APEの面積を引いた値になります。よって、その面積は次の通り。
四角形PEBQの面積＝△QAB－△APE
＝16/3－2
＝10/3 ㎝²
※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容も不明であれば遠慮なくコメントください。
すみません1問目の説明でRとありますが図上にありません。どこのこと指しているのですか？
まさ様
コメントありがとうございます。
Rは、解説の中で新たに設けた点なので問題文の図にはありません。Rは、解説にある通り「点Fから辺ABに垂線を下しその交点をR」になります。図にすると下図の場所です。