問1～3に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
図は、三角柱ABC-DEFであり、BC＝BE＝2cm、 AB＝4cm、∠ABC＝90°である。このとき、以下の問い にア～オから選んで答えなさい。
[問題1] 辺ACの長さを求めなさい。
[解答群]
ア 3cm イ 4cm ウ 2√3cm エ 2√2cm オ 2√5cm
[問題2] 3点 B、D、Fを頂点とする△BDFの面積を求めなさい。
[解答群]
ア √10cm² イ 6cm² ウ 2√10cm² エ 4cm² オ 9cm²
[問題3] 3 点 B、D、Fを含む平面と点Eとの距離を求めなさい。
[解答群]
ア √2cm イ 2√2cm ウ √3cm エ 4/3cm オ 5/2cm
解答と解説
試験問題１の解答：オ
三角形ABCは直角三角形なので、三平方の定理が使用できます。
ａ²＝ｂ²＋ｃ²
AC²＝AB²＋BC²
AC²＝4²＋2²
AC²＝20
AC＝√20
AC＝2√5 ㎝
試験問題２の解答：イ
辺BDの長さを求める
辺BDの長さを三平方の定理を使用して求めます。ED=4㎝なので、辺BDの長さは次の通り。
ａ²＝ｂ²＋ｃ²
BD²＝BE²＋ED²
BD²＝2²＋4²
BD²＝20
BD＝√20
BD＝2√5 ㎝
辺BFの長さを求める
辺BFの長さを三平方の定理を使用して求めます。BE＝EF＝2㎝なので、辺BFの長さは次の通り。
ａ²＝ｂ²＋ｃ²
BF²＝BE²＋EF²
BF²＝2²＋2²
BF²＝8
BF＝√8
BF＝2√2 ㎝
辺DF＝辺ACなので、辺DFは問題1より2√5㎝だと分かります。更に辺DFと辺BDが2√5で等しいので、三角形BDFは二等辺三角形だと分かります。点Dから辺BFへ垂線を下した点を点Qとします。DQは、三角形BDFの高さとなるのでこれが求まれば三角形BDFの面積が出てきます。
BQはBFの半分の長さなので、√2㎝となります。三平方の定理を使ってDQの長さを求めます。
三平方の定理
ａ²＝ｂ²＋ｃ²
BD²＝BQ²＋DQ²
(2√5)²＝(√2)²＋DQ²
DQ²＝20－2
DQ＝√18
DQ＝3√2
よって、三角形BDFの面積は次の通り。
△BDFの面積＝2√2x3√2÷2
△BDFの面積＝6 ㎝²
試験問題３の解答：エ
問題文は少し不親切ですが、平面BDFと点Eとの距離とは、点Eから平面BDFに垂線を下した最短距離のこと。言い換えると、三角形BDFを底面、点Eを頂点とした三角錐の高さにあたります。三角形BDFを底面、点Eを頂点とした三角錐は、三角形DEFを底面、点Bを頂点とした三角錐でもあります。文章だけでは分かり難いので必ず、図形を書くようにしましょう。
よって、まずは三角形DEFを底面、点Bを頂点とした三角錐の体積を求めます。
△DEFの面積＝EFxDE÷2
＝2×4÷2
＝4㎝²
三角錐の体積＝底面積x高さ÷3
＝4×2÷3
＝8/3 ㎝³ ・・・(１)
よって、三角形DEFを底面、点Bを頂点とした三角錐の体積は8/3 ㎝³
求めたいのは三角形BDFを底面、点Eを頂点とした三角錐の高さ。体積は、三角形DEFを底面、点Bを頂点とした三角錐の体積と同じなので8/3 ㎝³。三角形BDFの底面積は問題3より、6㎝²だと分かっています。よって、以下の式が成り立ちます。
三角錐の体積＝底面積x高さ÷3
8/3＝6x高さ÷3
高さ＝8/6
＝4/3 ㎝
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