大阪 職業訓練 試験問題 数学-問2(平成30年2月16日実施) 普通課程

問２ 試験問題

次の文章題の答えとして正しいものをア～オの中から1つ選び、記号で答えなさい。

[問題1]　姉は 1000 円、弟は 800 円を持ってパン屋に行った。同じ値段のパンを姉が 1 つ、弟が 2 つ買ったところ、姉の残金は弟の残金の 8 倍になった。このとき買ったパン 1 つの値段を求めなさい。

[問題2]　現在、母は 47 歳、子供は 13 歳である。今から何年後に母の年齢が子供の年齢の 3 倍になるか求めなさい。

[問題3]　家と郊外のショッピングセンターの間を自動車で往復するのに、行きは時速 50km、帰りは時速40km で走ったところ、帰りの時間は行きの時間より 24 分多くかかった。このとき行きにかかった時間を求めなさい。

[問題4]　1 から 9 の数字が 1 つずつ書かれたカードが 9 枚ある。この中から 3 枚のカードを取り出し並べて 3桁の整数を作るとき、各桁の数字の和が 21 になるのは何通りあるか求めなさい。

[問題5]　ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆの 6 人がいる。この 6 人を横一列に並べるとき、ａ、ｅの 2 人が隣り合う確率を求めなさい。

解答と解説

解答と解説を記載していきます。
解き方が分からないという人を少しでも減らすためにできる限り分かり易く必要以上に細かく順を追って解説している部分がありますが、実際の試験時は丁寧に計算し過ぎると時間のロスに繋がるため、自分の分かるところは効率よく解答していくようにしてください。

問題１の解答と解説

試験問題１の解答：エ

求めたいパン1つの値段をＮ円と仮定します。

姉の残金＝1000－Ｎ
弟の残金＝800－2Ｎ

姉の残金は弟の残金の 8 倍なので以下の式が成り立ちます。

1000－Ｎ＝(800－2Ｎ)×8

この式を解けば求めたいパン1つの値段Ｎが求まります。

1000－Ｎ＝(800－2Ｎ)×8
1000－Ｎ＝6400－16Ｎ
15Ｎ＝5400
Ｎ＝360円

問題２の解答と解説

試験問題２の解答：ウ

求めたい年数をＮと仮定します。

Ｎ年後に母の年齢が子供の年齢の 3 倍になるということなので、以下の式が成り立ちます。

47＋Ｎ＝(13＋Ｎ)×3

この式を解けば求めたい年数Ｎが求まります。

47＋Ｎ＝(13＋Ｎ)×3
47＋Ｎ＝39＋3Ｎ
2Ｎ＝8
Ｎ＝4年後

問題３の解答と解説

試験問題３の解答：イ

この問題を解くには距離と時間と速度の関係式を知っている必要があります。

注意点としては問題文のなかで時間の単位が「時間」と「分」の両方が混在しているため、どちらかに統一しておく必要があります。今回は時間に統一します。

行きにかかった時間をＮ時間と仮定します。

「距離＝速度×時間」なので、家とショッピングセンターの距離は次の式で表すことができます。

距離＝速度×時間
　　＝50×Ｎ
　　＝50Ｎ

帰りの時間は行きの時間より24分多くかかったということなので、Ｎ＋24としては間違い。Ｎは時間なのに対して24は分なので24分を時間に変換すると次の通り。

Ｎ＝24÷60＝0.4時間

よって、帰りの時間はＮ＋0.4となります。よって、距離は行きも帰りも同じなので以下の式が成り立ちます。

距離＝速度×時間
50Ｎ＝40×(Ｎ＋0.4)

この式を解けば行きにかかった時間Ｎが求まります。

50Ｎ＝40×(Ｎ＋0.4)
50Ｎ＝40Ｎ＋16
10Ｎ＝16
Ｎ＝1.6時間

よって、Ｎは1時間と0.6時間なのですが、0.6時間を分になおすと次の通り。

0.6時間＝0.6×60＝36分

よって、Ｎ＝1時間36分

問題４の解答と解説

試験問題４の解答：オ

和が21になるには、3以下の数字が1枚でも含まれていると残りの2枚が最も大きい、9と8の2枚であっても21に達しません。よって、この時点で4以上の数であることが確定します。

1枚が4のとき残り2枚の和は17なので、9と8になります。
4　9　8

1枚が5のとき残り2枚の和は16なので、9と7になります。
5　9　7

1枚が6のとき残り2枚の和は15なので、8と7になります。
6　8　7

1枚が7以上の場合は、上記の3種類のいずれかと同じになります。よって、3枚の合計が21になるカードの組み合わせは以下の3種類しかないことになります。
①4、9、8
②5、9、7
③6、8、7

各組み合わせごとの並び順のパターン数は順列の公式で求めることができます。

₃Ｐ₃＝3！(3－3)！
　＝3×2×11
　＝6種類

よって、各組み合わせごとに6種類あるので全通り数は次の通り。

①＋②＋③＝6＋6＋6＝18通り

問題５の解答と解説

試験問題５の解答：エ

順列の公式より、6人の並び順が全部で何通りあるかをまず求めます。

₆Ｐ₆＝6！(6－6)！
　＝6×5×4×3×2×11
　＝720通り。

次にaとeが隣り合う並び順が何通りあるかを求めたいのですが、aとeの組み合わせを一人として考えて並び順を考えます。そうすると5人の並び順を考えればいいのでその通り数は次の通りになります。

₅Ｐ₅＝5！(5－5)！
　＝5×4×3×2×11
　＝120通り

ここでaとeが隣り合う並び方としては、「ae」と「ea」の2通りあります。よって、aとeが隣り合う並び順は120通りではなく倍の240通りとなります。

求めたいのは全720通りある中で、aとeが隣り合う240通りになる確率です。その確率は次の通り。

aとeが隣り合う確率＝240720
　　　　　　　　　＝13

※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。