東京 職業訓練 試験問題[学力検査] 数学-問4,問5(平成24年4月生)

問４ 試験問題

Ａ、Ｂ、Ｃの３つの容器に入った食塩水があります。Ａの容器には濃度４％の食塩水が140ｇ、Ｂの容器には濃度５％の食塩水が160ｇ、Ｃの容器には濃度２％の食塩水が200ｇそれぞれ入っています。各容器の食塩水をすべて１つの容器に入れて混ぜたとき，食塩水の濃度は何％になりますか。　ただし、小数で求めなさい。

解答と解説

試験問題４の解答：3.52％

この問題を解くには、食塩水の濃度を求める公式を知っている必要があります。

正確には濃度は％で表すので上記の式の右辺に100がかけられ『食塩水の濃度＝(食塩の重さ/食塩水の重さ)×100』となるのですが、パーセント表記に変えるときは100をかけることはほとんどの人が知っていますよね？よって、上記の公式ではあえて記載していません。無駄なものを省くことで覚えやすいという狙いがあります。

さて、本題ですが、問題文から分かっている内容を図式化すると下図のようになります。

求めたいのは容器Ｄの濃度なのですが、濃度を求めるためには食塩水に含まれる食塩の量(重さ)を知る必要があります。

そこで、まずは容器Ａ、容器Ｂ、容器Ｃの食塩の量を求めます。そしてその各容器の食塩の量を合算したものが容器Ｄの食塩の量となります。

容器Ａの食塩の量を求める

濃度4％、食塩水の量が140ｇなので公式より食塩の量は次の通り。

食塩水の濃度＝食塩の量÷食塩水の量
食塩の量＝食塩水の濃度×食塩水の量
　　　　＝0.04×140
　　　　＝5.6ｇ・・・①

容器Ｂの食塩の量を求める

濃度5％、食塩水の量が160ｇなので公式より食塩の量は次の通り。

食塩水の濃度＝食塩の量÷食塩水の量
食塩の量＝食塩水の濃度×食塩水の量
　　　　＝0.05×160
　　　　＝8ｇ・・・②

容器Ｃの食塩の量を求める

濃度2％、食塩水の量が200ｇなので公式より食塩の量は次の通り。

食塩水の濃度＝食塩の量÷食塩水の量
食塩の量＝食塩水の濃度×食塩水の量
　　　　＝0.02×200
　　　　＝4ｇ・・・③

容器Ｄの食塩の量を求める

容器Ｄの食塩の量は各容器の食塩の量の合計なので①＋②＋③となります。よって、容器Ｄの食塩の量は次の通り。

容器Ｄの食塩の量＝①＋②＋③
　　　　　　　　＝5.6＋8＋4
　　　　　　　　＝17.6ｇ

容器Ｄの食塩水の濃度を求める

容器Ｄの食塩の量は17.6ｇと分かったので、濃度は公式より次の通りになります。

食塩水の濃度＝食塩の量÷食塩水の量
　　　　　　＝17.6÷500
　　　　　　＝0.0352
　　　　　　＝3.52％

よって、求めたい容器Ｄの食塩水の濃度は3.52％

問５ 試験問題

当たりくじが５本、はずれくじが95本、合計100本のくじがあります。このくじをＡ、Ｂの２人が１回ずつ引きます。Ａが先に引き、引いたくじをもとに戻さずに次にＢが引きます。このとき、Ｂが当たりくじを引く確率を分数で求めなさい。

解答と解説

試験問題５の解答：1/20

勘のいい人であればすぐに先にくじを引こうが、後に引こうが当たる確率は5/100＝1/20だとわかりますよね？もし、先にくじを引いた人の方が当たる確率が高いようであれば、宝くじも皆、発売日の初日にすぐに買いに行きます。

では、実際に確認していきたいと思います。

ＡさんもＢさんも当たりを引く確率

Ａさんが当たりを引く確率は、5/100
Ｂさんが当たりを引く確率は、4/99

よって、ＡさんもＢさんも当たりを引く確率は次の通り。
(5/100)×(4/99)
＝20/9900

Ａさんが外れＢさんが当たりを引く確率

Ａさんが外れを引く確率は、95/100
Ｂさんが当たりを引く確率は、5/99

よって、Ａさんが外れＢさんが当たりを引く確率は次の通り。
(95/100)×(5/99)
＝475/9900

合算確率

Ｂさんが当たりを引く場合、必ず『ＡさんもＢさんも当たりを引く』もしくは、『Ａさんが外れＢさんが当たりを引く』のどちらかになるので、この２つの確率を合算します。

合算確率＝(20/9900)＋(475/9900)
　　　　＝495/9900
　　　　＝1/20

よって、Ｂさんが当たりを引く確率は1/20

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