この問題は平成30年10月入校の東京都立職業能力開発センター入校選考試験問題の問２の（３）と（４）の解答と解説です。
問１および、問２の（１）（２）（５）に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
実際の試験の問題用紙は以下のページで確認することができます。
■目次
試験問題 問２(３)
２点（３,２）、（９,－２）を通る直線とx軸、y軸で囲まれた三角形を、x軸の周りに１回転してできる円すいの体積は何㎝³ですか。ただし、１目盛を１cmとします。
解答と解説
問２(３)の解答：32π ㎝³
この問題を解くには2点を通る直線の式および、円すいの体積を求めることができる必要があります。
問題を解くのに必要な知識
- 2点を通る直線の式を求められる
- 円すいの体積を求められる
問題文を図式化すると下図のようになり、直線とx軸、y軸で囲まれた三角形は黄色で囲まれた部分になります。
この黄色の領域がＸ軸の周りに1回転してできる円すいは下図の通りです。
円すいの体積を求める公式は次の通り。
円すいの体積＝底面積×高さ÷3
直線とｙ軸との交点をＡ、Ｘ軸との交点をＢとした場合、ＯＡの長さが円すいの底面の円の半径、ＯＢが円すいの高さとなります。よって、点Ａのｙ座標と点ＢのＸ座標を求めれば円すいの体積が求まります。
直線とＸ軸、Y軸の交点ＡＢの座標を求めるにはまずは、直線の式を求める必要があります。
一次関数の直線の式は傾きをａ、切片をｂとした場合、次の式で表すことができます。
ｙ＝ａＸ＋ｂ
この直線は、２点（３,２）、（９,－２）を通るので上記式にＸとｙの値を代入すると次のようになります。
（３,２）を代入
ｙ＝ａＸ＋ｂ
2＝3ａ＋ｂ・・・①
（９,－２）を代入
ｙ＝ａＸ＋ｂ
－2＝＝9ａ＋ｂ・・・②
式①－式②をしてａとｂの値を求めていきます。
2＝3ａ＋ｂ・・・①
－2＝＝9ａ＋ｂ・・・②
—————–
2－(－2)＝(3ａ＋ｂ)－(9ａ＋ｂ)
4＝－6ａ
ａ＝－2/3
ａの値が求まったので式①もしくは式②にａの値を代入し、ｂの値も求めます。
2＝3ａ＋ｂ・・・①
2＝3×(－2/3)＋ｂ
2＝－2＋ｂ
ｂ＝4
よって、直線の式は次の通り。
ｙ＝－2/3Ｘ＋4
切片である4がｙ軸との交点のｙ座標になるので点Ａ(０,４)となります。点Ｂはｙ＝0なので上記直線式に代入するとＸ座標も求まります。
ｙ＝－2/3Ｘ＋4
0＝－2/3Ｘ＋4
2/3Ｘ＝4
Ｘ＝6
よって、点Ｂ(６,０)となります。
これにより、円すいの底面である円の半径が4ｃｍ、円すいの高さが6ｃｍと分かりました。よって、円すいの体積は次の通り。
円すいの体積＝底面積×高さ÷3
＝4×4×π×6÷3
＝32π
よって、円すいの体積は32π ㎝³
試験問題 問２(４)
２けたの自然数があります。この数の一の位の数字から十の位の数字を引くと２になり、 十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数と、もとの数の比が７：４になるとき、もとの数を求めなさい。
解答と解説
問２(４)の解答：24
元の数字の十の位の自然数をａ、一の位の自然数をｂと仮定します。
問題文より一の位の数字から十の位の数字を引くと2になるということなので以下の式が成り立ちます。
ｂ－ａ＝2・・・①
また、元の数字は以下のようにあらわすことができます。
元の数字＝ａ×10＋ｂ・・・②
さらに十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は以下のようにあらわすことができます。
入れ替えた数字＝ｂ×10＋ａ・・・③
入れ替えた数字と元の数字の比が7：4なので以下の式が成り立ちます。
入れ替えた数字③：元の数字②＝7：4
ｂ×10＋ａ：ａ×10＋ｂ＝7：4
ここで以下の比の計算方法を知っている必要があります。
ｂ×10＋ａ：ａ×10＋ｂ＝7：4
(ｂ×10＋ａ)×4＝(ａ×10＋ｂ)×7
40ｂ＋4ａ＝70ａ＋7ｂ
66ａ－33ｂ＝0
2ａ－ｂ＝0
ｂ＝2ａ
ｂ＝2ａだと分かりました。これを式①へ代入し、ａとｂの値を求めます。
ｂ－ａ＝2・・・①
2ａ－ａ＝2
ａ＝2
ｂ＝2ａなのでｂの値は次の通り。
ｂ＝2ａ
＝2×2
＝4
よって、元の数字は24
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