この問題は平成30年10月入校の東京都立職業能力開発センター入校選考試験問題の問２の（５）の解答と解説です。
問１および、問２の（１）～（４）に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
実際の試験の問題用紙は以下のページで確認することができます。
試験問題 問２(５)
図のように、１辺が18cmの正方形ＡＢＣＤの紙を線分ＥＨを折り目として折り返したところ、点Ａが辺ＢＣ上にきました。辺ＢＣ上にきた点をＦとします。このとき、ＢＦ：ＦＣ＝１：２であるならば、四角形ＥＦＧＨの面積は何cm²ですか。
解答と解説
問２(５)の解答：126㎝²
問題文より、ＢＦ：ＦＣ＝１：２と分かっているので、ＢＦとＦＣの長さは次の通り。
ＢＦ：ＦＣ＝１：２
ＦＣ＝２ＢＦ・・・①
ＢＦ＋ＦＣ＝18
ＦＣ＝18－ＢＦ・・・②
式②を式①へ代入し、ＢＦとＦＣの長さを求めていきます。
18－ＢＦ＝2ＢＦ
3ＢＦ＝18
ＢＦ＝6
よって、ＦＣ＝12
ＢＦとＦＣの比が１：２なのでＢＣ(18㎝)を3等分してその内の2にあたる6㎝×2＝12㎝がＦＣ、1にあたる6㎝がＢＦと頭の中で計算できるようにしたいところです。
次に、ＢＥの長さを求めていきます。
ＢＥ＋ＥＦ＝18なので、ＥＦの長さは次のようにあらわすことができます。
ＥＦ＝18－ＢＥ
△ＥＢＦは直角三角形なので三平方の定理を利用してＢＥの長さを求めます。
ＥＦ²＝ＢＥ²＋ＢＦ²
(18－ＢＥ)²＝ＢＥ²＋6²
324－36ＢＥ＋ＢＥ²＝ＢＥ²＋36
324－36ＢＥ＝36
36ＢＥ＝288
ＢＥ＝8
よって、ＥＦ＝18-8＝10となります。
辺ＦＧと辺ＣＤの交点をＰとした場合、△ＥＦＢと△ＦＰＣに着目します。
∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＰ、∠ＥＦＢ＝∠ＦＰＣ、∠Ｂ＝∠Ｃとなり、三角形の相似条件の１つである『2組の角が等しいとき』を満たしているので△ＥＦＢと△ＦＰＣは相似な三角形になります。その相似比は次の通り。
ＥＢ：ＦＣ＝８：１２
＝２：３
よって、ＦＰの長さは次の通り。
ＥＦ：ＦＰ＝２：３
１０：ＦＰ＝２：３
２ＦＰ＝３０
ＦＰ＝１５
ＦＧは正四角形の辺なので18㎝とわかっています。よって、ＰＧの長さは次の通り。
ＰＧ＝18－15＝3㎝
次に△ＦＰＣと△ＨＰＧに着目します。
∠ＦＰＣと∠ＨＰＧは対角なので同じ角度になります。また、∠Ｃ＝∠Ｇ＝90°なので三角形の相似条件の１つである『2組の角が等しいとき』を満たします。
よって、3つの三角形△ＥＦＢと△ＦＰＣと△ＨＰＧはいずれも相似な三角形になります。
△ＥＦＢと△ＨＰＧに着目し、相似比を求めます。ＢＦ＝6、ＰＧ＝3なので相似比は次の通り。
△ＥＦＢ：△ＨＰＧ＝６：３
＝２：１
よって、ＥＢとＨＧの比も次のようになります。
ＥＢ：ＨＧ＝２：１
よって、ＨＧの長さは次の通り。
８：ＨＧ＝２：１
2ＨＧ＝8
ＨＧ＝4
これで台形の面積を求めるための上底、下底、高さの3辺の長さが分かりました。
台形ＥＦＧＨの面積は次の通り。
台形ＥＦＧＨの面積＝(上底＋下底)×高さ÷2
＝(4＋10)×18÷2
＝126
よって、求めたい四角形の面積は126㎝²
※記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。
∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＰ、∠ＥＦＢ＝∠ＦＰＣとなるのがよくわかりません。
教えていただけると幸いです。
まず、∠ＥＦＰは紙の角部分なので∠ＥＦＰ＝90°というのは分かります。
よって、
∠ＥＦＢ＝90°－∠ＣＦＰ ・・・①
更に三角形内角の和は180°なので
∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＢ＋∠Ｂ＝180°となります。
∠Ｂは90°なので
∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＢ＋90°＝180°
∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＢ＝90°
この式の∠ＥＦＢに①を代入します。
∠ＢＥＦ＋（90°－∠ＣＦＰ）＝90°
∠ＢＥＦ－∠ＣＦＰ＝0
∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＰ
となります。
∠ＥＦＢ＝∠ＦＰＣも同じ考え方で導けます。
ただ、このように一つ一つ計算してると時間が全く足りなくなります。
この形は瞬時に△ＥＦＢと△ＦＰＣが相似な三角形になると判断できるようにしておく必要があります。