大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成27年2月20日実施) 普通課程

平成27年2月20日に実施された大阪の職業訓練の選考試験問題と解説です。大阪で行われる職業訓練の試験問題は、筆記試験ではなく毎回、選択方式です。問題4は図形の問題が頻繁に出題されます。過去問を繰り返し実施し、短時間かつ正確に解けるようにしておきましょう。

次の図で、1辺6cmの立方体ABCD-EFGH の辺ABとBCの中点をそれぞれ点M、点Nとして、この立方体を3点M、N、Fを通る平面で切り、2つの立体に分けることを考える。このとき、次の各問の答えとして正しいものをア~オの中から 1 つ選び、記号で答えなさい。

h27-2-20-f-q4-1

[問題1] 切り分けられた2つの立体のうち、小さい方の体積を求めよ。

[解答群]
 13cm³
 12cm³
 11cm³
 10cm³
 9cm³

[問題2] 切断面FNMの面積を求めなさい。

[解答群]
 25/2 cm²
 25/3 cm²
 25/4 cm²
 27/2 cm²
 25/4 cm²

[問題3] 切り分けられた2つの立体のうち、大きい方の立体について、さらに4点M、N、E、Gを通る平面で切り、2つの立体に分ける。このとき、小さい方の立体の体積を求めよ。

[解答群]
 50cm³
 51cm³
 52cm³
 53cm³
 54cm³

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解答と解説

問題1の解説:
小さい方の立体は、下図の赤線の三角すいになります。よって、三角すいの体積の求める公式を知っている必要があります。

h27-2-20-f-q4-3

 三角すいの体積=底面積×高さ×(1/3)

底面は三角形MNBです。点M、Nは辺AB、辺BCの中点なので、MBの長さ、NBの長さは共に3cmだとわかります。よって、三角形MNBの面積は次の通り。

 三角形MNBの面積=3×3÷2
          =4.5cm²

更に三角すいの高さは辺BFなので6cmです。よって、三角すいの体積は公式より次の通り。

 三角すいの体積=底面積×高さ×(1/3)
        =4.5×6×(1/3)
        =9cm³

解答:オ

問題2の解説:
切断面FMNは三角形です。よって、面積を求めるには底辺の長さと、高さを知る必要があります。

底辺をMNとした場合、高さは辺MNの中点OからFに引いた青線部分になります。

h27-2-20-f-q4-2

それでは、底辺の長さと高さを求めていきます。

底辺MNの長さを求める
下図のように辺MB、BNの長さは3cmと分かっています。また、∠NBM=90°なので、三角比が利用できます。

h27-2-20-f-q4-4

三角比
tokyo-sugaku-h25-01-q2-3

よって、三角比より、辺MN=3√2

高さOFの長さを求める
三角形MNBの面積は、問題1で4.5cm²と分かっています。よって、次の式が成り立ちます。

 三角形MNBの面積=底辺MN × 高さOB ÷ 2
 4.5=3√2 × OB ÷ 2
 9=3√2 × OB
 OB=3/√2

次に辺OFの長さを求めるためにまずは、三角形OBFについて見ていきます。

h27-2-20-f-q4-5

∠OBF=90°なので、三平方の定理を使用することができます。

※三平方の定理
三平方の定理

c²=a²+b²

が成り立つ。よって、これを三角形OBFにあてはめると

 c²=a²+b²
 OF²=OB²+BF²
 OF²=(3/√2)²+6²
 OF²=9/2+36
 OF²=81/2
 OF=9/√2

三角形FMNの面積を求める
三角形FMNの底辺MN=3√2、高さOF=9/√2と分かったので、三角形FMNの面積は次の通り。

 三角形FMNの面積=辺MN × 辺OF ÷ 2
          =(3√2) × (9/√2) ÷ 2
          =27/2

よって、三角形FMNの面積は、27/2 cm²

解答:エ

問題3の解説:
図のように図形MBN-EFG(赤線)について考えます。この図形MBN-EFGは、最初の小さな図形三角すいMBN-Fも含まれるので、後程、図形MBN-EFGから三角すいMBN-Fの体積(問題1)を引いて、今回求めたい図形の体積を求めます。

図形MBN-EFG(赤線)を延長させ、三角すいEFG-Pを作ります。

この三角すいEFG-Pと三角すいMBN-Pは相似な三角すいです。そして、その比は

 三角すいEFG-P:三角すいMBN-P=6:3=2:1

だと分かります。よって、

 辺PF:辺PB=2:1

も成り立ちます。辺BFの長さは6cmなので、辺PBの長さをXとした場合次の式が成り立ちます。

 辺PF:辺PB=(X+6):X

この(X+6):Xが2:1となるはずなので

 (X+6):X=2:1

これを解くと、

 (X+6):X=2:1
 X+6=2X
 X=6

辺PBの長さが6cmと分かりました。よって、辺PFの長さは12cmとなります。このことより、三角すいEFG-Pの体積は、

 三角すいEFG-Pの体積=底面積 × 高さ ÷ 3
             =三角形EFGの面積 × 辺PF ÷ 3
             =(6×6÷2) × 12 ÷ 3
             =72cm³ ・・・(1)

次に三角すいMBN-Pの体積を求めます。

 三角すいMBN-Pの体積=底面積 × 高さ ÷ 3
             =三角形MBNの面積 × 辺PB ÷ 3
             =(3×3÷2) × 6 ÷ 3
             =9cm³ ・・・(2)

よって、(1)-(2)をすれば、図形MBN-EFG(赤線)の体積が出てきます。

 (1)-(2)=72-9=63cm³ ・・・(3)

更にこの図形MBN-EFG(赤線)は、問題1で求めた最初の小さな図形の体積も含まれてしまっているので、問題1で求めた最初の小さな図形の体積を(3)から引くと、今回求めたい体積が出てきます。

 63cm³-9cm³=54cm³

解答:オ

※解説の内容が分からない場合はコメント下さい。


4 Responses to “大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成27年2月20日実施) 普通課程”

  1. 佐々木(33歳・男) より:

    はじめまして。
    職業訓練校を受験する予定の佐々木と申します。

    過去問解説、大変参考にさせていただいております。
    ありがとうございます。

    来年2月試験の職業訓練校(大阪・2年コース)を受験する予定なのですが、何が何でも合格して訓練を受けたいので、有料で試験対策に関してコンサルティングしていただきたくご連絡させていただきました。

    受験講座の業界研究(仕事内容、就職先、必要な素養)に関しては学校見学会に数回行ったり、現職の方に話を聞いて、面接対策する予定です。

    現在「小・中・高で習った計算まるごとドリル(間地秀三)」というテキストを使って、因数分解、平方根、等差数列、等比数列などの計算の基礎は復習しました。

    次のステップとして、数Ⅰ・Aを復習しようと思ったのですが、大阪の試験内容(高卒程度)を見る限り、出題範囲がかなり偏っているので、数Ⅰ・A全てを復習するよりかは、ポイントを絞って集中的に勉強したいと考えています。

    試験の数学に関しては全問正解を目指したいです。

    つきまして、ご依頼させていただきたいコンサル内容としましては、
    以下の2点でございます。
    ・職業業訓練校(大阪)試験に特化した、学習方法のアドバイス
    ・上記学習方法に伴う、参考書、問題集の選定(国語も含む)

    現在まだ在職中です。(3月上旬退職)
    限られた時間を有効に効率よく学習する為には、職業訓練校試験に熟知されている、あなた様にアドバイスをいただくのが最善と思い、藁にもすがる思いでご連絡させていただきました。

    引き受けていただけるようでしたら、コンサル報酬に関してご相談させていただきたいです。

    ご返信お待ちしております。
    ご検討よろしくお願いいたします。
    佐々木

    • 管理人 より:

      佐々木様

      はじめまして、サイト管理人です。

      熱意が凄く伝わってきます。
      可能な限り協力させて頂きます。

      後程、直接メールで連絡させて頂きます。

  2. kk より:

    問3の図形を描いてくださればわかりやすいです。今のままではわかりません。

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