大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成26年9月2日実施)

h26-9-2-q4-1右の図1で、曲線ℓは関数y=ax²(aは定数)のグラフです。2点A(-2, 12)、B(3, 27)は曲線ℓ上にあります。曲線ℓ上を点Aから点Bまで動く点をPとします。

このとき、次の各問の答えとして正しいものをア~オの中から1つ選び、記号で答えなさい。

[問題1]点PのX座標が1の時、点Aと点Pを通る直線の方程式を求めなさい。

[解答群]
 y=-2x+6
 y=3x+6
 y=-3x+6
 y=-6x+6
 y=2x+6

[問題2]点Pが、y軸について点Aと対象の位置にあるとき、△OAPをy軸について回転しました。このときできる立体の体積を求めなさい。ただし、座標1目盛りを1cmとします。

[解答群]
 36Πcm³
 64Πcm³
 24Πcm³
 16Πcm³
 18Πcm³

試験問題 放物線[問題3]右の図2は、図1において、点Pを通り、y軸に平行な直線が線分ABと交わる点をQとしたものです。

点PのX座標が正の数で、PQ=12となるとき、点Pの座標を求めなさい。

[解答群]
試験問題 解答


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解答と解説

問題1の解説:
まずは、曲線ℓの式がy=ax²となっており、定数aが分かっていないので先に求めます。この曲線ℓは、点A(-2, 12)を通るので、曲線の式にこの座標を代入します。

 y=ax²
 12=a(-2)²
 12=4a

よって、a=3とわかり、曲線ℓの式は

 y=3x² ・・・(1)

となります。点PのX座標は1ということなので、この曲線(1)にX座標1を代入すると、点Pのy座標が3だという事がわかります。よって、点Pの座標は(1, 3)。

この点A(-2, 12)と点P(1, 3)を通る直線の式を求めます。直線の式は、y=ax+b で表されます。この直線の式にA点、P点の座標を代入することで、直線APの式が分かります。

点A(-2, 12)を通る事より

 y=ax+b
 12=-2a+b ・・・(2)

点P(1, 3)を通る事より

 y=ax+b
 3=a+b
 b=3-a ・・・(3)

(3)を(2)に代入することでaが求まります。

 12=-2a+(3-a)
 12=-3a+3
 3a=-9
 a=-3

この時点で傾きaが―3となるのは解答ウしかないのでウと分かりますが、念のためbも求めます。式(2)か(3)どちらかにこのa=-3を代入するとbが出てきます。

 b=3-a
 b=3-(-3)
 b=6

よって、求める直線APは、y=-3x+6のウとなります。

解答:ウ

問題2の解説:
この問題を解くには、円錐の体積を求める公式を知っている必要があります。

 円錐の体積

更に、円錐の底面は円なので円の面積を求める公式も知っておく必要があります。

 円の面積 =(半径)x(半径)x Π

h26-9-2-q4-5点Pをy軸を対象とした位置に点Aがあるということなので、点Pの位置は図のような位置になります。更にこれでできた三角形OAPをy軸を中心として回転させた場合、直線APを直径とした円を底面として持つ円錐ができます。また、円の半径は、点Aからy軸までの距離なので2とわかります。

底面となる円の面積は、上記の公式より

 円の面積(円錐の底面積) =(半径)x(半径)x Π
             = 2 x 2 x Π
             = 4Π

となります。次に円錐の体積を求めるのですが、高さは、12と分かっているので円錐の体積を求める公式より

 円錐の体積 = 1/3 x 4Π x 12
       = 16Π cm³

解答:エ

問題3の解説:
h26-9-2-q4-3
まずは、直線ABの式はを求めます。求め方は問題1と同様です。2点A(-2, 12)、B(3, 27)を通るので、直線の式y=ax+bより、

点A(-2, 12)を通るとき

 12=-2a+b ・・・(4)

点B(3, 27)を通るとき

 27=3a+b
 b=27-3a ・・・(5)

式(4)に(5)を代入します。

 12=-2a+27-3a
 5a=15
 a=3

a=3と分かったので、このaの値を式(5)に代入しbを求めます。

 b=27-3×3=18

よって、直線ABの式は、y=3x+18 だと分かります。更に点Pは、放物線y=3x²上にあるので、点PのX座標をLとした場合、y座標は3L²となります。

 点Pの座標 (L, 3L²)

また、点QのX座標は点PのX座標と同じなのでLとなります。点Qは直線AB上にあるので、直線ABの式y=3x+18にLを代入すると、点Qのy座標は3L+18となります。

 点Qの座標 (L, 3L+18) 

h26-9-2-q4-4ここで2点PQの座標がわかりました。次にこの2点のPQの長さを求めるのですが、設問よりPQ=12となることが分かっています。

線分PQは、y軸と並行なので、Qのy座標とPのy座標を引いた値が12になればいいわけです。よって、計算式は次の通り。
 (Qのy座標)-(Pのy座標)=12
 (3L+18)-(3L²)=12
 3L+18-3L²=12
 -3L²+3L+18-12=0
 -3L²+3L+6=0
 L²-L-2=0

この式を因数分解すると下記のようになります。

 (L-2)(L+1)=0

因数分解のやり方はここでは割愛しますが、頻繁に出題されるのでできるようにはなっておきましょう。分からない方は、『因数分解』や『たすき掛け』といった単語で検索すると色々解説しているサイトが見つかると思います。

h26-9-2-q4-5よって、PのX座標Lは2と-1の2つの解があることが分かります。何故、2つ解があるかと言うと図のように線分PQの長さが12となるPの座標が2つ存在するからです。

しかし、設問に「点PのX座標は正の数」とあるので、点PのX座標は2の方のみとなります。この時点で解答群には点PのX座標が2となるのはウしかないので解答はウだと分かります。

念のため、y座標も確認します。点Pの座標 (L, 3L²)なので、y座標は、

 3x2²=12

となります。よって、求める解答は点P(2, 12)のウ。

解答:ウ

※解説の内容が分からない場合はコメント下さい。


6 Responses to “大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成26年9月2日実施)”

  1. 和田 閑 より:

    数学 問4の問題3で、Lを使って表すところまでは理解出来るのですが、その後のときかたがよくわからないのでよろしくお願い致します。

    • 管理人 より:

      コメントありがとうございます。
      一部分かり難いと思われるところを修正しました。

      ただ、因数分解のやり方までは記載していないのでご了承ください。

  2. 名無し より:

    問2の解説
    APの直径の求め方がわかりません
    なぜ半径が2となってるのか説明不足に感じます

    同じく問2の解説後半
    「次に円錐の体制を求めるのですが~」
    これは体積の誤字でしょうか?

    よろしくお願いします

    • 管理人 より:

      ご指摘ありがとうございます。

      >問2の解説
      >APの直径の求め方がわかりません
      >なぜ半径が2となってるのか説明不足に感じます

      図と解説を追記しました。
      これでどうでしょうか?

      >同じく問2の解説後半
      >「次に円錐の体制を求めるのですが~」
      >これは体積の誤字でしょうか?

      はい。ご指摘の通り誤字でした。
      修正致しました。ありがとうございました。

  3. 名無し より:

    問3について

    点Pの座標を因数分解により
    (L-2)(L+1)
    と求めましたが、なぜ
    -2→2
    1→-1
    に読みかわるのかがわかりません。
    恐れ入りますがご教示ねがいます。

    • 管理人 より:

      コメントありがとうございます。

      まず、1点正しく式の意味をとらえる必要があります。
      因数分解の結果は、

       (L-2)(L+1)

      ではなく、

       (L-2)(L+1)=0

      です。これは重要では無いようでとても重要な意味があります。
      この式をもう少し分かりやすく書き換えると次のようになります。

       (L-2)×(L+1)=0

      これは見ての通り、(L-2) と (L+1) を掛けると「0」になるということです。
      この点は大丈夫ですよね?

      次にある2つの数字を掛けて、その結果が「0」になる場合はどういう場合かというのを考えます。そうすると、結果が「0」になるには2つの数字の内、必ず一方もしくは両方が「0」でなければならないことがわかります。

       2×0=0
       0×4=0
       0×0=0

      これを理解した上で再度、因数分解の結果を見てみます。

       (L-2)×(L+1)=0

      掛けた結果が0になるには、「(L-2)が0」もしくは、「(L+1)が0」となる必要があります。

      (L-2)が0になるためには、Lが2である必要があります。また、(L+1)が0となるには、Lが-1 である必要があります。

      よって、

       (L-2)(L+1)=0

      の解は、L=2、-1 ということになります。

      因数分解によってできた式は、Lが2もしくは-1の場合、掛けた結果が0になるという意味の式になります。

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