大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4(平成26年2月21日実施2)

図のグラフは、放物線y＝ax² と直線y＝x＋3 が点Ａ、Ｂで交わっている。点Ａのx座標が3である。このとき次の問に答えなさい。

[問題１]点Ａのy座標を求めなさい。

[問題２]aの値を求めなさい。

[問題３]点Ｏ、Ａ、Ｂを直線で結ぶと三角形ができる。この三角形の面積を求めなさい。

解答と解説

問題１の解説：
点Ａのx座標が3と分かっているので、直線の式y＝x＋3 のxに3を代入すればy座標を求めることができます。

y＝x＋3 にx＝3 を代入すると

y＝3＋3＝6

よって、求めるy座標は6のア

解答：ア

問題２の解説：
Ａ点の座標が(3、6)と分かったので、放物線の式にxとyを代入すればaの値が求まる。

y＝ax² にy＝6、X＝3 を代入すると

6＝a×(3)²
6＝9a
a＝6/9＝2/3

よって、求めるaの値は、2/3のイ

解答：イ

問題３の解説：
Ａ点の座標(3、6)、Ｏ点の座標(0、0)と分かっているので残るＢ点の座標を求める必要があります。求め方は、放物線のグラフの式と直線の式が分かっているので連立方程式で解きます。

　放物線の式： y＝(2/3)Ｘ²
　直線の式： y＝Ｘ＋3

直線の式を放物線の式に代入します。

　Ｘ＋3＝(2/3)Ｘ²

分数のままだと計算が面倒になるので両辺に3を掛けて分数をなくします。

　3Ｘ＋9＝2Ｘ²

この式のＸを求めると、Ｂ点のＸ座標がでてきます。

　3Ｘ＋9＝2Ｘ²
　2Ｘ²－3Ｘ－9＝0
　(2Ｘ＋3)(Ｘ－3)＝0

　Ｘ＝3、－3/2

Ｘ＝3は、Ａ点のＸ座標なのでＢ点のＸ座標は－3/2
よって、y座標は直線の式y＝Ｘ＋3 にこのＸ座標を代入すれば求めることができます。

　y＝－3/2 ＋ 3＝－3/2 ＋ 6/2＝3/2

よって、Ｂ点の座標は(－3/2、3/2)

さて、ここから三角形ＯＡＢの面積を求めるのだが、求め方は公式を利用する方法と、利用しない方法の2通りあります。まずは、公式を利用する方法。

公式を利用して解く方法
3つの座標の内、1点が原点（０，０）を通り、残り2点を（ａ，ｂ）、（ｃ，ｄ）とした場合、次の公式で面積が求められます。

Ｏ点(0、0)
Ａ点(3、6)
Ｂ点(－3/2、3/2)

公式に値を代入し求めていきます。

Ｓ＝{3×3/2 － 6x(-3/2)} / 2
　＝(9/2 ＋ 9) / 2
　＝(27/2) / 2
　＝27/4

よって、求める面積は、27/4のア

公式を利用しない解き方
図の様に直線とy軸の交点をＣとします。

そして、面積は三角形ＯＣＢと、三角形ＯＣＡの2つに分けて考えます。

まず、三角形ＯＣＢですが底辺をＯＣとした場合高さはＢ点からy軸に向かって垂直に下ろした線が高さになります。要は、Ｂ点のＸ座標が三角形の高さです。Ｂ点のＸ座標は－3/2です。高さとしてはマイナスを除いた3/2です。

底辺の長さはＣ点のy座標、直線の式y＝x＋3 にＸ＝0を代入してyを求めてもいいですが、直線の式の切片がy座標なのでＸ＝0を代入しなくても即座に3とわかります。

よって、三角形ＯＣＢの面積は

三角形ＯＣＢの面積＝底辺×高さ÷2
　　　　　　　　　＝3×(3/2)÷2
　　　　　　　　　＝9/4

次に三角形ＯＣＡの面積を求めるのですが、底辺は同様にＯＣで長さは3となります。高さはＡ点からy軸に向かって垂直に下ろした線の長さです。要は、Ａ点のＸ座標です。Ａ点のＸ座標は3と分かっているので三角形ＯＣＡの高さは3になります。(参照：補足事項１)

よって、三角形ＯＣＡの面積は

三角形ＯＣＡの面積＝底辺×高さ÷2
　　　　　　　　　＝3×3÷2
　　　　　　　　　＝9/2

これで、三角形ＯＣＢとＯＣＡの面積が求まりました。この2つを足すと、三角形ＯＡＢの面積となります。

三角形ＯＡＢの面積＝三角形ＯＣＢの面積＋三角形ＯＣＡの面積
　　　　　　　　　＝9/4 ＋ 9/2
　　　　　　　　　＝9/4 ＋ 18/4
　　　　　　　　　＝27/4

よって、三角形ＯＡＢの面積は27/4のア

解答：ア

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