埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問2(平成25年入校生)

次の(1)~(4)の問いに答えなさい。

[問題1]
面積が18cm2で、横が縦より3cm長い長方形がある。この長方形の縦の長さを求めなさい。

[問題2]
りんご3個となし2個を買うと520円で、りんご2個となし1個を買うと320円でした。りんご1個、なし1個の値段をそれぞれ求めなさい。

[問題3]
Aさんは、家から1000m離れた図書館で、Bさんと12分後の午前9時丁度に待ち合わせをしました。Aさんの歩く速さは毎分50m、走る早さは毎分100mです。今から家を出ると何分歩いて何分走ればよいですか。

[問題4]
時速xkmで走る自動車のブレーキがきき始めてから停止するまでの制動距離をymとすると、yはxの2乗に比例します。ある自動車が時速60kmで走るときの制動距離が18mであるとき、この自動車が時速40kmで走るときの制動距離を求めなさい。

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解答と解説

試験問題1の解答:
求めたい長方形の縦の長さをNとする。

 縦の長さ:N cm
 横の長さ:N+3 cm
 面積:18 cm²

よって、長方形の面積は、縦×横ででるので、次の式が成り立ちます。

 N × (N + 3) = 18

この式を解くと、求めたい長方形の縦の長さNが出ます。

 N² + 3N – 18 = 0

因数分解すると、

 (N+6)(N-3)=0

Nは、-6と3となります。辺の長さでマイナスはありえないので、求めたい解答は、3cmとなります。

解答:3cm

試験問題2の解答:
リンゴ1個の値段をX、なし1個の値段をYとします。

 リンゴ1個の値段:X
 なし1個の値段:Y

りんご3個となし2個を買うと520円ということなので、次の式が成り立ちます。

 3X + 2Y = 520 ・・・(1)

更にりんご2個となし1個を買うと320円ということなので、次の式が成り立ちます。

 2X + Y = 320 ・・・(2)

この式(1)(2)を解くとリンゴとなしの1個の値段がでてきます。

 3X + 2Y = 520 ・・・(1)
 2X + Y = 320 ・・・(2)

式(2)の両辺に2をかけます。

 3X + 2Y = 520 ・・・(1)
 4X + 2Y = 640 ・・・(2)

式(2)から(1)を引いてやります。

 X = 120

よって、リンゴ1個の値段は、120円となります。更に式(1)もしくは(2)にこのリンゴの値段を代入し、なしの値段を求めます。

 2 × (120) + Y = 320 ・・・(2)
 240 + Y = 320
 Y = 80

よって、なし1個の値段は、80円となります。

解答:りんご120円、なし80円

試験問題3の解答:
下記の公式は覚えておくようにしましょう。3つとも同じ式で変形させているだけなので、いずれか1つを覚えておいて変形できるようにしておけばよい。
 速度 = 距離 ÷ 時間
 距離 = 速度 × 時間
 時間 = 距離 ÷ 速度

歩いた時間をHとします。
 歩いた時間:H
 走った時間:12-H

Aさんが歩いた距離は、公式より次の通り。
 距離 = 速度 × 時間
    = 50 × H = 50H ・・・(1)

Aさんが走った距離は、公式より次の通り。
 距離 = 速度 × 時間
    = 100 × (12 – H) = 1200 – 100H ・・・(2)

この(1)と(2)の距離を足して、1000mになればいい。

 50H + 1200 – 100H = 1000
 50H = 200
 H = 4分

よって、歩いた時間は4分と分かる。また、これにより走った時間も8分と分かります。

 走った時間 = 12-H = 12 – 4 = 8

解答:歩く時間4分、走る時間8分

試験問題4の解答:
 制動距離: y m
 時速:x km
 その関係は、y=ax²

まず、時速と制動距離の単位が異なるので先に合わせましょう。どちらに合わせてもよいのですが、今回は制動距離を求める問題なので制動距離で使われているmに統一します。

 時速60㎞ = 60000m
 時速40㎞ = 40000m

自動車が時速60kmで走るときの制動距離が18mと言う点より、次の式が成り立ちます。
 y=ax²
 18=a × (60000)²
 a=18 ÷ (60000)²

これより、y=(18/3600000000)× x²
      =(1/200000000)× x² ・・・(1)

また、自動車が時速40㎞で走るときの制動距離は、式(1)のXに40000mを代入すれば求まります。

 y =(1/200000000)× x²
=(1/200000000)× (40000)²
=(1/200000000)× (1600000000)
=8

よって、求める制動距離は、8mとなります。

※別の考え方
時速、40kmは時速60㎞の2/3の速度となります。

制動距離は、時速の2乗に比例するということなので、制動距離は、時速60㎞の時とくらべ(2/3)²になることが言えます。よって、時速40kmの時の制動距離は、

 18m × (2/3)² = 18 × 4/9 = 8

こちらの考え方の方が早く解けますね。

解答:8m


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