（３）4つの自然数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが次の条件を満たしている。ＢはＡより2大きい、ＣはＢの2倍より1小さい、ＤはＣの2乗である。4つの数の合計は98である。Ａの数をＸとして次の問いに答えなさい。
[問題1] Ｄの数をＸを用いて表しなさい。
[問題2] ＢとＣの和を求めなさい。
解答と解説
試験問題１の解答：Ｄ＝4Ｘ²＋12Ｘ＋9 または、Ｄ＝(2Ｘ＋3)²
まずは、分かっている点をまとめます。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは自然数ということなので、1以上の整数になります。
次にＢはＡより2大きいということなので次の式が成り立ちます。
Ｂ＝Ａ＋2 ・・・(１)
また、ＣはＢの2倍より1小さいということなので次の式が成り立ちます。
Ｃ＝2Ｂ－1 ・・・(２)
更にＤはＣの2乗なので次の式が成り立ちます。
Ｄ＝Ｃ² ・・・(３)
そして、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの合計が98ということなので次の式が成り立ちます。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝98 ・・・(４)
設問は、Ａ＝ＸとしたときにＤをＸを用いて合わらせということなので、次のように各式に値を代入していきます。
まず、式(３)に式(２)を代入します。
Ｄ＝Ｃ² ・・・(３)
Ｄ＝(2Ｂ－1)²
＝4Ｂ²－4Ｂ＋1
この式に式(１)を代入します。
Ｄ＝4Ｂ²－4Ｂ＋1
＝4(Ａ＋2)²－4(Ａ＋2)＋1
＝4(Ａ²＋4Ａ＋4)－4Ａ－8＋1
＝4Ａ²＋16Ａ＋16－4Ａ－8＋1
＝4Ａ²＋12Ａ＋9
Ａの数をＸとするので、
Ｄ＝4Ｘ²＋12Ｘ＋9
よって、求める解答はＤ＝4Ｘ²＋12Ｘ＋9 または、Ｄ＝(2Ｘ＋3)²
試験問題２の解答：14
問題１より、Ｄ＝4Ｘ²＋12Ｘ＋9 と分かっています。同様に他のＡ、Ｂ、ＣもＸだけで表します。
式(１)からＢをＸで表すと次のようになります。
Ｂ＝Ａ＋2 ・・・(１)
Ｂ＝Ｘ＋2
式(２)に式(１)を代入します。
Ｃ＝2Ｂ－1 ・・・(２)
＝2(Ａ＋2)－1
＝2Ａ＋4－1
＝2Ａ＋3
よって、
Ｃ＝2Ｘ＋3
これで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを全てＸで表すことができました。ここでもう一度、整理しておきます。
Ａ＝Ｘ
Ｂ＝Ｘ＋2
Ｃ＝2Ｘ＋3
Ｄ＝4Ｘ²＋12Ｘ＋9
このＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの値を式(４)へ代入します。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝98 ・・・(４)
Ｘ＋(Ｘ＋2)＋(2Ｘ＋3)＋(4Ｘ²＋12Ｘ＋9)＝98
4Ｘ²＋16Ｘ－84＝0
Ｘ²＋4Ｘ－21＝0
(Ｘ＋7)(Ｘ－3)＝0
よって、Ｘ＝－7、3
しかし、Ａは自然数なのでＸの値は3となります。これで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの値が全て求まります。設問はＢ＋Ｃの和なので、次のようになります。
Ｂ＋Ｃ＝Ｘ＋2＋2Ｘ＋3
＝3Ｘ＋5
Ｘ＝3なので
Ｂ＋Ｃ＝3×3＋5＝14
