平成27年5月21日に大阪で実施された職業訓練の選考試験問題 問3の解説です。大阪で行われる職業訓練の試験問題は、筆記試験ではなく毎回、選択方式ですが試験時間が短いためこれらの過去問を繰り返し実施し、短時間かつ正確に解けるようにしておきましょう。
問1～2、問4に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。
大阪 職業訓練 試験問題 数学-問1
大阪 職業訓練 試験問題 数学-問2
大阪 職業訓練 試験問題 数学-問4
次の図において、直線ℓは Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)で、原点を頂点とする2次関数と2点Ｂ、Ｄで交わっている。直線ℓとx 軸との交点をＡ、y軸との交点をＣとするとき、線分の長さについて、AB：BC＝1：2 が成り立つ。このとき、次の各問の答えとして正しいものをア～オの中から1つ選び、記号で答えなさい。
[問題1] 2次関数の式を求めなさい。
[解答群]
ア Ｙ＝Ｘ² イ Ｙ＝(1/5)Ｘ² ウ Ｙ＝(2/5)Ｘ² エ Ｙ＝(3/5)Ｘ² オ Ｙ＝(4/5)Ｘ²
[問題2] 三角形OBDの面積を求めなさい。
[解答群]
ア 2 イ 12/5 ウ 14/5 エ 16/5 オ 3
解答と解説
試験問題１の解答：ウ
まずは、点Ａ、点Ｂの座標を考えていきます。
点Ａの座標
点Ａは、直線ℓ Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)とＸ軸との交点なので、Ｙ座標は0になります。よって、直線ℓの式にＹ＝0を代入すれば点ＡのＸ座標が求まります。
Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)
0＝(4/5)Ｘ+(6/5)
-(4/5)Ｘ＝(6/5)
-Ｘ＝(6/5)x(5/4)
-Ｘ＝3/2
Ｘ＝-3/2
よって、点Ａの座標は(-3/2,0) ・・・(１)
点Ｂの座標
下図のように点ＢからＸ軸に垂線を引き、Ｘ軸と交わる点をＢ’とします。
三角形ＡＢＢ’と三角形ＡＣＯは3つの内角がそれぞれ等しいので相似な三角形です。相似な三角形は各辺の長さの比率も同じになります。設問よりＡＢ：ＢＣ＝１：２とわかっているので、同様にＡＢ’：Ｂ’Ｃ＝１：２も成り立ちます。
ＡＢ’：Ｂ’Ｃ＝１：２ということは、点Ｂ’は線分ＡＯを2/3した位置にあることがわかります。点ＡのＸ座標は-3/2なので、点Ｂ’の座標は次の通りになります。
(-3/2)x(2/3)＝-1
よって、点Ｂ’の座標は(-1,0)
これは点ＢのＸ座標も-1ということを意味します。よって、点Ｂの座標は次の通り。
直線ℓ Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)
Ｙ＝(4/5)x(-1)+(6/5)
＝-(4/5)+(6/5)
＝2/5
よって、点Ｂの座標は(-1,2/5) ・・・(２)
2次関数について考える
2次関数の放物線の式は、原点Ｏが頂点となっているので傾きをａとした場合、次の式で表すことができます。
Ｙ＝ａＸ²
また、この放物線は点Ｂ(-1,2/5)を通ることから傾きａは次のようになります。
Ｙ＝ａＸ²
点Ｂ(-1,2/5)を通るので、Ｘ＝-1、Ｙ＝2/5を代入する。
2/5＝ａx(-1)²
ａ＝2/5
よって、2次関数の放物線のグラフの式は次の通り。
Ｙ＝(2/5)Ｘ²
試験問題２の解答：イ
点Ｄの座標を求める
点Ｄは、直線ℓ Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)と放物線Ｙ＝(2/5)Ｘ²の交点です。よって、次のように求めることができます。
Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5) ・・・(１)
Ｙ＝(2/5)Ｘ² ・・・(２)
式(２)を式(１)へ代入する
(2/5)Ｘ²＝(4/5)Ｘ+(6/5)
この式を解くと直線ℓと放物線のＸ座標の交点が求まります。
(2/5)Ｘ²＝(4/5)Ｘ+(6/5)
(2/5)Ｘ²-(4/5)Ｘ-(6/5)＝0
2Ｘ²-4Ｘ-6＝0
Ｘ²-2Ｘ-3＝0
(Ｘ-3)(Ｘ+1)＝0
Ｘ＝3,-1
点ＡのＸ座標が-1なので、点ＤのＸ座標は3だとわかります。直線ℓの式にこのＸ＝3を代入すれば、点ＤのＹ座標の方も求まります。
Ｙ＝(4/5)Ｘ+(6/5)
＝(4/5)x3+(6/5)
＝18/5
よって、点Ｄの座標は(3,18/5)・・・(３)
三角形ＯＢＤの面積を求める
求め方としては、三角形ＯＡＤの面積を求め、そこから三角形ＯＡＢの面積を引く流れで行う。
[三角形ＯＡＤの面積]
三角形ＯＡＤの高さは点ＤからＸ軸に垂線を下した長さ。言い換えると、点ＤのＹ座標の値になります。よって、高さは18/5。底辺は線分ＡＯなので、点ＡのＸ座標の値が底辺の長さになります。ただ、長さにマイナスはないのでマイナスを取り除いた3/2が底辺の長さとなります。よって、三角形ＯＡＤの面積は次の通り。
面積＝(3/2)x(18/5)÷2
＝27/10
[三角形ＯＡＢの面積]
三角形ＯＡＢの高さは点ＢからＸ軸に垂線を下した長さ。言い換えると、点ＢのＹ座標の値になります。よって、高さは2/5。底辺は線分ＡＯなので、点ＡのＸ座標の値が底辺の長さになります。ただ、長さにマイナスはないのでマイナスを取り除いた3/2が底辺の長さとなります。よって、三角形ＯＡＢの面積は次の通り。
面積＝(3/2)x(2/5)÷2
＝3/10
[三角形ＯＢＤの面積]
△ＯＢＤ面積＝△ＯＡＤ面積-△ＯＡＢ面積
＝(27/10)-(3/10)
＝24/10
＝12/5
※解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説を記載せず解答のみを記載しています。もし、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。また、記載している解説の内容も不明であれば遠慮なくコメントください。
