この問題は平成29年4月入校の東京都立職業能力開発センター入校選考試験問題の問5の解答と解説です。

問1~問4、問6に関しては以下のページに解説をまとめているので参考にして下さい。

実際の試験の問題用紙は以下のページで確認することができます。

都立職業能力開発センター入校選考試験問題(平成29年04月生)

問題を解くのに必要な知識

  • 特に難しい知識は必要ありません。

問5 試験問題

2+√3の整数部分をa、小数部分をbとするとき、2a+b²の値はいくらですか。

以下は解答と解説です。まずは、解答、解説を見る前に自分自身で解けるかチャレンジしてみてください。

解答と解説

試験問題5の解答:14個

予備解説

整数部分、小数部分って何?という人のために少しだけ解説しておきます。分かる人は少し下まで読み飛ばしてください。

たとえば√2という数字があったとします。この√2のルートを外すと『1.41421356…』といった数字になります。

2=1.41421356…

整数部分というのは『1.41421356…』の「1」の部分で、証す部分というのは『1.41421356…』の「41421356…」の部分になります。

2+√3の整数部分と小数部分を知るには√3がどういった数値なのかを知る必要があります。

ルートのことを知っていれば√3は『1<√3<2』の範囲にあると頭の中で即座に出てくるはずですが、分からない人は以下のように考えてみてください。

n<√3<n+1

上記を満たすnの値を考えます。
3のままだと分かり難いのですべてを2乗しルートを外します。

n²<(√3)²<(n+1)²
n²<3<(n+1)²

そうすると、2乗して3以下になる最大の整数nは1ですよね。n=1を代入してみると以下のように等式が成り立ちます。

1<3<4

よって、√3は以下の範囲にあることがわかります。
n<√3<n+1
1<√3<2

この時点では√3の小数部分は分かりませんが『1.xxxxx』となることだけは分かりました。よって、2+√3の整数部分aは3だと分かります。

2+√3
=2+1.xxxxx=3.xxxxx

整数部分a=3

では小数部分はどうなるのか?
これは、√3から整数部分の1を引けば小数部分のxxxxxだけが残るので、1を引くことで求めることができます。

小数部分b=√3-1

よって、求めたい2a+b²の値は次の通りになります。

2a+b²
=(2×3)+(√3-1)²
=6+3-2√3+1
10-2√3

※記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。