次の方程式を解き、適当な数字を次のア～オの中から選び、答えなさい。
[問題1] 1÷7を計算するとき、商の小数第390位の数はいくつになりますか。
ア 1 イ 2 ウ 4 エ 5 オ 7
[問題2] ある店では商品を20個以上まとめ買いすると、商品代金から2割引するサービスがある。この店で180円の商品Aを25個と、270円の商品Bを 35個合わせて購入するとき、支払う金額はいくらですか。ただし、消費税は考えないものとする。
ア 11120円 イ 11140円 ウ 11160円 エ 11180円 オ 11200円
[問題3] 男子5人と女子2人が一列に並ぶとき、女子2人が隣になる並び方は何通りあるか。
ア 1440通り イ 1480通り ウ 1520通り エ 1560通り オ 1600通り
[問題4] 12％の食塩水300ｇに水を加えて8％の食塩水にした。加えた水は何ｇか。
ア 120g イ 130g ウ 140g エ 150g オ 160g
[問題5] 縦と横の長さが7：8の長方形がある。この長方形の面積が8064cm² であるとき、横の長さは何cmであるか。
ア 80cm イ 84cm ウ 88cm エ 91cm オ 96cm
解答と解説
試験問題１の解答：オ
1÷7を計算すると、割り切れないので商は
0.14285714285714285714285714285714…
と永遠に続きます。これをまともに390位まで計算するような人はいないと思いますが、それではどうやって求めればいいのか？
よく見ると商はある6桁ごとに同じ数値の繰り返しになっています。
0.142857142857142857…
よって、390桁というのは、
390÷6＝65
この6桁の数値が65個並んだ最後の数値だとわかります。
よって、390桁目は、『7』
もし、求めたいのが391桁目だった場合は、
391÷6＝65余り1
となるので、6桁の数値が65個並んで更に＋1ということになるので、6桁の数値が66個目の最初の数値『1』ということになります。
試験問題２の解答：ウ
180円の商品Ａを25個購入するということなので、通常料金は
180円 × 25個 ＝ 4500円
となります。しかし、20個以上まとめ買いなので2割引きが適用されます。よって、商品Ａの支払額は
商品Ａの支払額＝4500 × 0.8
＝3600円
次に270円の商品Ｂを35個購入するということなので、通常料金は
270円 × 35個 ＝ 9450円
となります。しかし、20個以上まとめ買いなので2割引きが適用されます。よって、商品Ｂの支払額は
商品Ｂの支払額＝9450 × 0.8
＝7560円
よって、支払う金額は次の通り
支払う金額＝商品Ａの支払額＋商品Ｂの支払額
＝3600＋7560
＝11160
試験問題３の解答：ア
この問題を解くには、組み合わせの公式は覚えておきましょう。
まず、男子5名をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとします。更に女子2人が隣にならなければならないので、この女子2人を1セットで考えＦとします。そうすると、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの6名の並びの組み合わせ数は
6Ｐ6＝6×5×4×3×2×1＝720
となります。また、1セットで考えた女子2名Ｆ内の並び順の組み合わせ数は、
2Ｐ2＝2×1＝2
よって、組み合わせ総数は
720通り × 2通り ＝ 1440通り
試験問題４の解答：エ
食塩水の濃度計算の公式を使います。
濃度(％)＝食塩の量 ÷ 食塩水の量
まずは、水を加える前の12％の食塩水300gに含まれている食塩の量を求めます。食塩の量をＸと仮定した場合、公式より次の通りになります。
12％＝Ｘ ÷ 300g
0.12＝Ｘ ÷ 300
Ｘ＝36
よって、食塩の量は36gと分かりました。次に水を加えて濃度8％の食塩水を作るのですが、水だけを加えるので食塩の量は36gのまま変わりません。よって、求めたい加えた水の量をＹとした場合、公式より次の式が成り立ちます。
8％＝36g ÷ (300＋Ｙ)g
0.08＝36 ÷ (300＋Ｙ)
0.08(300＋Ｙ)＝36
24＋0.08Ｙ＝36
0.08Ｙ＝12
Ｙ＝150
よって、加えた水の量は、150g
試験問題５の解答：オ
縦と横の長さが7：8ということなので、縦の長さは横の長さの7/8倍だと分かります。
これも、比だと思うと難しく思えてしまいますが、仮に長さと思えばいい。
縦と横の長さが7cm、8cmと同じ。これは、縦の長さは横の長さの7/8倍ですよね。
そうすると、求めたい横の長さをＸとした場合、縦の長さは
横の長さ Ｘ
縦の長さ Ｘ × (7/8)
となります。よって、長方形の面積は横×縦なので
長方形の面積＝ Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
となります。この面積が8064にならなければならないので次の式が成り立ちます。
8064＝Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
この式を解くと求めたい横の長さＸが出てきます。
8064＝Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
8064＝Ｘ² × (7/8)
Ｘ²＝8064 × 8/7
Ｘ²＝9216
Ｘ＝±√9216
Ｘ＝±√96²
Ｘ＝±96
辺の長さにマイナスはあり得ないので、Ｘ＝96となります。
解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説省略していますが、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。
8064＝Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
8064＝Ｘ² × (7/8)
Ｘ²＝8064 × 8/7
Ｘ²＝9216
Ｘ＝±√9216
Ｘ＝±√96²
Ｘ＝±96
計算方法を詳しく教えて下さい。
北乾様
コメントありがとうございます。
これ以上詳細に計算を詳しく記載するのは、難しいのですが、具体的にどこか分からないというのはありますでしょうか？ もし、ルートの計算が難しいと思われているのであれば、下記のように因数分解を行ってもらっても構いません。ただ、この場合は、因数分解の知識が必要になります。因数分解のやり方自体は、自分自身で学んでいただかなければどうしようもありませんが、ネット上でも調べるとたくさん方法は記載されているので、是非、自分自身で調べてみてください。
8064＝Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
8064＝Ｘ² × (7/8)
Ｘ²＝8064 × 8/7
Ｘ²＝9216
Ｘ²-9216＝0
(X+96)(X-96)＝0
よって、X＝96、-96
但し、辺の長さにマイナスはあり得ないので、Ｘ＝96が正解。
8064＝Ｘ × {Ｘ × (7/8)}
8064＝Ｘ² × (7/8)
{}内のＸが消えてしまってるのは何故ですか？
まｋ様
コメントありがとうございます。
掛け算の「ｘ」とＸ(エックス)が見間違い安いので掛け算の「ｘ」を「*」で書き直して解説いたします。
8064＝Ｘ * {Ｘ * (7/8)}
上の式は式は全て掛け算なので｛｝はそのまま外すことができます。外すと下記のような式になります。
8064＝Ｘ * Ｘ * (7/8)
「Ｘ * Ｘ」は「Ｘ²」なので
8064＝Ｘ² * (7/8)
となります。
間違いやすいのは、｛｝を外す際に｛｝外の「Ｘ」を｛｝内の「Ｘ」と「(7/8)」の両方に掛けて下記のようにしてしまうことです。
8064＝Ｘ * {Ｘ * (7/8)}
8064＝Ｘ² * (7/8)Ｘ
もし、｛｝内の「*」が「＋」や「－」だったら両方に掛ける必要があり、下記のようになりますが、「*」と言う点に注意が必要です。
8064＝Ｘ * {Ｘ + (7/8)}
8064＝Ｘ² + (7/8)Ｘ
↑
｛｝内が＋だとこれで正解だが・・・
分かり難ければ次のようにも考えられます。
8064＝Ｘ * {Ｘ * (7/8)}
まずは、｛｝内を計算する
8064＝Ｘ * {(7/8)Ｘ}
｛｝を外す
8064＝Ｘ * (7/8)Ｘ
「Ｘ」と「(7/8)Ｘ」を掛ける
8064＝(7/8)Ｘ²
これを書き換えたら
8064＝Ｘ² * (7/8)
になりますよね。
ありがとうございます。
ちなみに、Ｘの値を出すのに√計算するのは何故ですか？
Ｘ＝9216 が答えではないのですか？
まＫ様
Ｘ＝9216 ではなく Ｘ²＝9216 です。
この問題にはないのですが。
その問題には疑問が解決しなかったもので、
解説をお願いします。
コインの出る確率と玉の確率
１）3枚のコインを投げるとき、表が1枚と裏が2枚出る確率は？
[答え]３/8
総出目、表表表、表表裏、・・・裏裏裏。８通り。求めるもの、表裏裏、裏裏表、裏表裏。3通り。
私が疑問に思うのが、表と裏が並ぶのは順列になり、表表表は組み合わせになるのが理解できないです。表表表まで順列にすると全部で１８通りでしょうか。
２）袋に赤玉が2個と白玉が1個入っている。ここから玉を2個取り出すとき、2個とも赤玉を引く確率は？
[答え]１/3
赤玉A、赤玉B、白玉１。赤玉を順列になっている。AB,BAが存在する。総通り６通り。求めるもの2通り。
[私が言いたいこと]コインは3枚とも表は順列にしないで、玉の同じ色では順列にしている違いについてです。投げても、取り出すのも同じ意味ではないですか。
その問題の答えを表示してます。
kk様
１）3枚のコインを投げるとき、表が1枚と裏が2枚出る確率は？
これは、表と裏が並ぶのは順列ではなく組み合わせになります。コイン１～３を順番に投げた際に出る目ではなく同時に投げた際に出る組合せです。その組み合わせは下表の８通りあり、裏が２枚出るパターンはパターン３，６，８の３通りということになります。
２）袋に赤玉が2個と白玉が1個入っている。ここから玉を2個取り出すとき、2個とも赤玉を引く確率は？
上記の問題文からだけだと組合せか順列か判断が付き難い問題ですね。「AB,BAが存在する」という解説はその問題で解説されている解答でしょうか？そうであれば、少し不親切な問題ですね。問題の「２個取り出す」＝「２個を順番に取り出す」というのを前提にされているのだと思います。
組合せの場合と順列では少し考え方が変わってき、組み合わせの場合は下表１、順列の場合は下表２となります。ただ、解答はどちらも１/３となります。
ご回答ありがとうございます
２）赤玉A、赤玉B、白玉１。赤玉を順列になっている。AB,BAが存在する。総通り６通り。求めるもの2通り。
正解説書を私なりに変えて書いたものです。
分かりにくいものなのに解いてくださりありがとうございました。
√9216が＋96×−96となる96の数字の導き方が分かりません。
すいませんわかりました。9216を素因数分解するといいのでしたね。2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3に分解できるので、2×2×2×2×2×3＝96でルートを外せるんでしたね。正しいでしょうか？
なかむらのりこ様
ご質問ありがとうございます。
ルートを外すのは仰られる通り素因数分解すると簡単ですね。ルートの中はａ²のように2乗になっていればルートを外すことができます。
√ａ²＝ａ
9216を素因数分解すると「2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3」となるので、これを書き換えると「2²×2²×2²×2²×2²×3²」となります。ルートを外す場合、これらの2乗がはずれるので、2×2×2×2×2×3＝96となります。
＝√9216
＝√2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
＝√2²×2²×2²×2²×2²×3²
＝2×2×2×2×2×3
＝96