次の方程式を解き、適当な数字を次のア~オの中から選び、答えなさい。

[問題1] 1÷7を計算するとき、商の小数第390位の数はいくつになりますか。

[解答群]
  1   2   4   5   7

[問題2] ある店では商品を20個以上まとめ買いすると、商品代金から2割引するサービスがある。この店で180円の商品Aを25個と、270円の商品Bを 35個合わせて購入するとき、支払う金額はいくらですか。ただし、消費税は考えないものとする。

[解答群]
  11120円   11140円   11160円   11180円   11200円

[問題3] 男子5人と女子2人が一列に並ぶとき、女子2人が隣になる並び方は何通りあるか。

[解答群]
  1440通り   1480通り   1520通り   1560通り   1600通り

[問題4] 12%の食塩水300gに水を加えて8%の食塩水にした。加えた水は何gか。

[解答群]
  120g   130g   140g   150g   160g

[問題5] 縦と横の長さが7:8の長方形がある。この長方形の面積が8064cm² であるとき、横の長さは何cmであるか。

[解答群]
  80cm   84cm   88cm   91cm   96cm

解答と解説

試験問題1の解答:
1÷7を計算すると、割り切れないので商は

0.14285714285714285714285714285714…

と永遠に続きます。これをまともに390位まで計算するような人はいないと思いますが、それではどうやって求めればいいのか?

よく見ると商はある6桁ごとに同じ数値の繰り返しになっています。

0.142857142857142857

よって、390桁というのは、

 390÷6=65

この6桁の数値が65個並んだ最後の数値だとわかります。

h27-2-20-q2-1

よって、390桁目は、『7』

もし、求めたいのが391桁目だった場合は、

 391÷6=65余り1

となるので、6桁の数値が65個並んで更に+1ということになるので、6桁の数値が66個目の最初の数値『1』ということになります。

試験問題2の解答:
180円の商品Aを25個購入するということなので、通常料金は

 180円 × 25個 = 4500円

となります。しかし、20個以上まとめ買いなので2割引きが適用されます。よって、商品Aの支払額は

 商品Aの支払額=4500 × 0.8
        =3600円

次に270円の商品Bを35個購入するということなので、通常料金は

 270円 × 35個 = 9450円

となります。しかし、20個以上まとめ買いなので2割引きが適用されます。よって、商品Bの支払額は

 商品Bの支払額=9450 × 0.8
        =7560円

よって、支払う金額は次の通り

 支払う金額=商品Aの支払額+商品Bの支払額
      =3600+7560
      =11160

試験問題3の解答:
この問題を解くには、組み合わせの公式は覚えておきましょう。
saitama-23-q3-1

まず、男子5名をA、B、C、D、Eとします。更に女子2人が隣にならなければならないので、この女子2人を1セットで考えFとします。そうすると、A、B、C、D、E、Fの6名の並びの組み合わせ数は

 6P6=6×5×4×3×2×1=720

となります。また、1セットで考えた女子2名F内の並び順の組み合わせ数は、

 2P2=2×1=2

よって、組み合わせ総数は

 720通り × 2通り = 1440通り

試験問題4の解答:
食塩水の濃度計算の公式を使います。

 濃度(%)=食塩の量 ÷ 食塩水の量

まずは、水を加える前の12%の食塩水300gに含まれている食塩の量を求めます。食塩の量をXと仮定した場合、公式より次の通りになります。

 12%=X ÷ 300g
 0.12=X ÷ 300
 X=36

よって、食塩の量は36gと分かりました。次に水を加えて濃度8%の食塩水を作るのですが、水だけを加えるので食塩の量は36gのまま変わりません。よって、求めたい加えた水の量をYとした場合、公式より次の式が成り立ちます。

 8%=36g ÷ (300+Y)g
 0.08=36 ÷ (300+Y)
 0.08(300+Y)=36
 24+0.08Y=36
 0.08Y=12
 Y=150

よって、加えた水の量は、150g

試験問題5の解答:
縦と横の長さが7:8ということなので、縦の長さは横の長さの7/8倍だと分かります。

これも、比だと思うと難しく思えてしまいますが、仮に長さと思えばいい。
縦と横の長さが7cm、8cmと同じ。これは、縦の長さは横の長さの7/8倍ですよね。

そうすると、求めたい横の長さをXとした場合、縦の長さは

 横の長さ X
 縦の長さ X × (7/8)

となります。よって、長方形の面積は横×縦なので

 長方形の面積= X × {X × (7/8)}

となります。この面積が8064にならなければならないので次の式が成り立ちます。

 8064=X × {X × (7/8)}

この式を解くと求めたい横の長さXが出てきます。

 8064=X × {X × (7/8)}
 8064=X² × (7/8)
 X²=8064 × 8/7
 X²=9216
 X=±√9216
 X=±√96²
 X=±96

辺の長さにマイナスはあり得ないので、X=96となります。

解説を記載するまでもないと判断した問題に関しては、解説省略していますが、この問題の解説が欲しいというのがあれば、コメント欄に記載してください。