埼玉 職業訓練 試験問題[長期] 数学-問4(平成22年入校生)

saitama-22-q4-1(8) 図のような立方体で、対角線AGの長さを9cmとしたとき、次の各問に答えなさい。

[問題1]
AEの長さを求めなさい。

[問題2]
立方体の体積を求めなさい。

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解答と解説

問題1の解説:
この問題を解くには、立方体とはどういった図形なのか? というのと、三平方の定理を知っておく必要があります。

※補足
立方体とは、合同な6つの正方形で囲まれた図形を立方体という。

下図ような直角三角形がある場合、次の式が成り立ちます。この式を三平方の定理といいます。

a²+b²=c²

三平方の定理

まずは、三角形AEGについて考えます。∠AEGは直角なので、上記の三平方の定理を使用することができます。三平方の定理にあてはめると次のようになります。

AE² + EG² = AG² ・・・(1)

次に三角形EFGについて考えます。∠EFGは直角なので、同様に三平方の定理を使用することができます。三平方の定理にあてはめると次のようになります。

FG² + EF² = EG² ・・・(2)

立方体は全ての辺の長さが等しいので、立方体の1辺の長さをaとした場合、式(1)(2)は式(3)(4)のようになります。

AE² + EG² = AG² ・・・(1)
a² + EG² = AG² ・・・(3)

FG² + EF² = EG² ・・・(2)
a² + a² = EG²
EG²=2a² ・・・(4)

設問より、AGは9cmと分かっているので、式(4)を式(3)へ代入することで求めたい辺AE(a)の長さを求めることができます。

a² + EG² = AG² ・・・(3)
a² + 2a² = 9²
3a² = 81
a² = 27
a = 3√3

a = AEなので求めたい辺AEの長さは3√3 となります。

解答:3√3 cm

問題2の解説:
立方体の体積を求める公式は、

立方体の体積 = 底面積 × 高さ

底面積 = (3√3) × (3√3) = 9×3 = 27

よって、立方体の体積は、

立方体の体積 = 27 × 3√3 = 81√3 cm³

解答:81√3 cm³

※解説内容に不明な点があればコメント欄にコメントください。


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