埼玉 職業訓練 試験問題[短期] 数学-問3(平成22年入校生)

(3)4つの自然数A、B、C、Dが次の条件を満たしている。BはAより2大きい、CはBの2倍より1小さい、DはCの2乗である。4つの数の合計は98である。Aの数をXとして次の問いに答えなさい。

[問題1] Dの数をXを用いて表しなさい。

[問題2] BとCの和を求めなさい。

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解答と解説

試験問題1の解答:D=4X²+12X+9 または、D=(2X+3)²
まずは、分かっている点をまとめます。

A、B、C、Dは自然数ということなので、1以上の整数になります。

次にBはAより2大きいということなので次の式が成り立ちます。
B=A+2 ・・・(1)

また、CはBの2倍より1小さいということなので次の式が成り立ちます。
C=2B-1 ・・・(2)

更にDはCの2乗なので次の式が成り立ちます。
D=C² ・・・(3)

そして、A、B、C、Dの合計が98ということなので次の式が成り立ちます。
A+B+C+D=98 ・・・(4)

設問は、A=XとしたときにDをXを用いて合わらせということなので、次のように各式に値を代入していきます。

まず、式(3)に式(2)を代入します。
D=C² ・・・(3)
D=(2B-1)²
 =4B²-4B+1

この式に式(1)を代入します。
D=4B²-4B+1
 =4(A+2)²-4(A+2)+1
 =4(A²+4A+4)-4A-8+1
 =4A²+16A+16-4A-8+1
 =4A²+12A+9

Aの数をXとするので、

D=4X²+12X+9

よって、求める解答はD=4X²+12X+9 または、D=(2X+3)²

試験問題2の解答:14
問題1より、D=4X²+12X+9 と分かっています。同様に他のA、B、CもXだけで表します。

式(1)からBをXで表すと次のようになります。
B=A+2 ・・・(1)
B=X+2

式(2)に式(1)を代入します。
C=2B-1 ・・・(2)
 =2(A+2)-1
 =2A+4-1
 =2A+3

よって、
C=2X+3

これで、A、B、C、Dを全てXで表すことができました。ここでもう一度、整理しておきます。
A=X
B=X+2
C=2X+3
D=4X²+12X+9

このA、B、C、Dの値を式(4)へ代入します。
A+B+C+D=98 ・・・(4)
X+(X+2)+(2X+3)+(4X²+12X+9)=98
4X²+16X-84=0
X²+4X-21=0
(X+7)(X-3)=0

よって、X=-7、3

しかし、Aは自然数なのでXの値は3となります。これで、A、B、C、Dの値が全て求まります。設問はB+Cの和なので、次のようになります。

B+C=X+2+2X+3
   =3X+5

X=3なので

B+C=3×3+5=14


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