（４）下の図においてＡＤ//ＢＣ、ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、∠ＢＡＣ＝90° である。ＢＣ＝12cmのとき、三角形ＡＣＤの面積を求めなさい。
解答と解説
試験問題の解答：18√2
この問題は、正弦定理、余弦定理を使用して求める方法、三角形ＡＣＤの3つの辺の長さを求めてヘロンの公式を使う方法などいくつかの解き方があります。しかし、ここでは公式を使用せずに求める方法で解きます。
とは言っても、1つだけ知っておく定義があります。それは、直角二等辺三角形の各辺の長さの比は、『1：1：√2』ということです。
それでは、問題の解説に入ります。
三角形ＡＢＣは、∠ＢＡＣ＝90°、ＡＢ＝ＡＣということより、直角二等辺三角形だとわかります。よって、『1：1：√2』の定義が使えます。よって、辺ＡＢ、ＡＣ、の長さを√2倍した長さが辺ＢＣの長さとなります。辺ＡＢ、ＡＣの長さをＮとした場合、辺ＢＣが12cmなので、次の式が成り立ちます。
Ｎ×√2＝12
Ｎ＝12÷√2
よって、辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＤの長さは、12/√2 となります。また、三角形ＡＢＣは直角二等辺三角形なので、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝45° となります。また、辺ＢＣ//辺ＡＤ なので∠ＣＡＤも45°だと分かります。
求めたいのは三角形ＡＣＤの面積なので、三角形の底辺をＡＣとした場合、Ｄ点から辺ＡＣに向かって垂直に下ろした線が高さとなります。Ｄ点から辺ＡＣに向かって垂直に下ろした線が辺ＡＣと交わる点を辺Ｅとした場合、分かっている内容を整理すると下図のようになります。
三角形ＡＥＤも直角二等辺三角形なので、『1：1：√2』の定義が使えます。
辺ＡＥ、ＤＥの長さをＭとした場合、辺ＡＤの長さが12/√2なので次の式が成り立ちます。
Ｍ×√2＝12/√2
Ｍ＝12/(√2×√2)
Ｍ＝12/2＝6
よって、三角形ＡＣＤの底辺ＡＣの長さが12√2、高さＤＥが6と分かったので、三角形ＡＣＤの面積は次の通りになります。
12/√2 × 6 ÷ 2 ＝ 36/√2
解答としてはこのままでもいいのですが、上記の答えは下記のようにも変形できます。
36/√2＝18×√2×√2 / √2 ＝18√2
通常はこのように分数ではなく整数の形になおして解答します。
