（４）下図の円Ｏは、∠Ａ＝90°の三角形ＡＢＣの内接円である。ＡＢ＝12cm、ＡＣ＝9cmのとき、円Ｏの半径を求めなさい。
解答と解説
試験問題の解答：3 cm
三角形に内接する円の半径は、三角形の面積と関連付けて求めることができます。
上図のように三角形ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＡの3つに分けて考えます。
まずは、三角形ＯＢＣに着目。
点Ｏから辺ＢＣに垂直に下ろした線が三角形ＯＢＣの高さであり、円の半径になります。そして、この三角形ＯＢＣの面積は次の式で表すことができます。
三角形ＯＢＣの面積＝辺ＢＣ×円の半径÷2
底辺となる辺ＢＣの長さが分からないので求めます。三角形ＡＢＣは、∠Ａが90°となる直角三角形なので三平方の定理を使用して辺ＢＣの長さを求めることができます。
三平方の定理
Ｃ²＝Ａ²＋Ｂ²
よって、三角形ＡＢＣを三平方の定理にあてはめると次のようになります。
ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²
ＢＣ²＝12²＋9²＝144＋81＝225
ＢＣ＝√225＝15
同様に残り2つの三角形の面積は次の式で表すことができます。
三角形ＯＡＢの面積＝辺ＡＢ×円の半径÷2
三角形ＯＣＡの面積＝辺ＣＡ×円の半径÷2
そして、三角形ＡＢＣの面積はこれら3つの三角形の合計になるので次の式で表すことができます。
三角形ＡＢＣの面積＝三角形ＯＢＣの面積＋三角形ＯＡＢの面積＋三角形ＯＣＡの面積
＝(辺ＢＣ×円の半径÷2)＋(辺ＡＢ×円の半径÷2)＋(辺ＣＡ×円の半径÷2) ・・・(１)
ここで、三角形ＡＢＣは、底辺を辺ＡＢとすると高さが辺ＡＣとなります。辺ＡＢの長さは12cm、辺ＡＣの長さは9cm。よって、三角形ＡＢＣの面積は次の通り。
三角形ＡＢＣの面積＝12×9÷2＝54cm²
よって、式(１)は次のようになります。
三角形ＡＢＣの面積＝(辺ＢＣ×円の半径÷2)＋(辺ＡＢ×円の半径÷2)＋(辺ＣＡ×円の半径÷2) ・・・(１)
54＝(辺ＢＣ×円の半径÷2)＋(辺ＡＢ×円の半径÷2)＋(辺ＣＡ×円の半径÷2)
54＝(15×円の半径 ÷2)＋(12×円の半径÷2)＋(9×円の半径÷2)
式が見難いので×円の半径＝rと置き換えます。(別に置きかえなくてもＯＫです)
54＝7.5r＋6r＋4.5r
54＝18r
r＝3
