東京 職業訓練 試験問題[学力検査] 数学-問6(平成30年4月生)

問６ 試験問題

Ａ君は、ある坂の上からボールを転がし、ボールが転がり始めると同時に毎秒３ｍの速さで坂を下りました。ボールは転がり始めてからＸ秒後に0.6Ｘ² ｍ転がるものとします。Ａ君が坂を下り始めてから、ボールに追い越されるのは何秒後ですか。ただし、坂は一様な傾斜とします。

以下は解答と解説ですが、解答・解説を見る前にまずは自分自身でしっかりと考えるようにしてくださいね。

解答と解説

試験問題６の解答：5秒後

現実であればＡ君の加速度なども考慮しなければならないのですが、Ａ君は走り出した直後から毎秒3ｍの速度で移動していると考えて構いません。ボールの方は徐々に加速度していき、転がり始めた直後はＡ君の方が速いが、数秒後にはボールの方が速くなります。

Ａ君が坂を下り始めてから、ボールに追い越されるのをＸ秒後と仮定します。

Ｘ秒後のＡ君の移動距離は次の通り。
Ａ君の移動距離＝3×Ｘ
　　　　　　　＝3Ｘ・・・①

ボールのＸ秒後の移動距離は次の通り。
ボールの移動距離＝0.6Ｘ²・・・②

ボールがＡ君を追い越すということは、次の式が成り立ったときです。

ボールの移動距離≧Ａ君の移動距離

よって、①②よりＸの値は次のようになります。

ボールの移動距離≧Ａ君の移動距離
②≧①
0.6Ｘ²≧3Ｘ
0.6Ｘ≧3
Ｘ≧5

よって、ボールがＡ君を追い越すのは5秒後。

解答の補足

正確には5秒後の移動距離は双方15ｍなので追い越したというよりも追いついたと言うべきで、問題内容としてはやや不親切な内容となっています。

ただ、6秒後とすると既に追いつき追い抜いてから1秒が経過してしまっているので、そういう意味では5秒の方がより精度が高い解答と言えます。問題文を『追い越し始めるのは何秒後からか？』と捉えれば良いかと思います。

※記載している解説の内容に誤りや不明な点があれば遠慮なくコメントください。